2520 என்ற எண்ணின் சிறப்புகள்

2520 என்ற எண்ணின் சிறப்புகள்

2520 என்ற இந்த எண்ணின் சிறப்பைப் பற்றி முகநூலிலும், புலனத்திலும் தொடர்ந்து பகிரப்பட்ட செய்திகள் மூலமாக அறிந்தேன். அதை உங்களுடன் பகிர்ந்து கொள்வதில் மகிழ்கிறேன்.

2520 என்ற இந்த எண்ணை 1 முதல் 10 வரை எந்த எண்ணாலும் மீதியின்றி வகுக்கலாம். அதை நீங்களே பாருங்களேன்.

  2520 ÷ 1 = 2520

  2520 ÷ 2 = 1260

  2520 ÷ 3 = 840

  2520 ÷ 4 = 630

  2520 ÷ 5 = 504

  2520 ÷ 6 = 420

  2520 ÷ 7 = 360

  2520 ÷ 8 = 315

  2520 ÷ 9 = 280

  2520 ÷ 10 = 252

2520 என்ற இந்த எண்ணை 7×30×12 எனப் பெருக்கற்பலனாக எழுதலாம்.

இதில் 7 என்பது வாரத்தின் 7 நாட்களையும்

30 என்பது மாதத்தின் 30 நாட்களையும்

12 என்பது வருடத்தின் 12 மாதங்களையும் குறிப்பதாக அந்தத் தகவலில் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தது. இதைக் கண்டறிந்தது இராமானுஜம் என்றும் அந்தத் தகவல் குறிப்பிடுகிறது.

*****

A foreword as an afterword

A foreword as an afterword

So far we have seen all the basics of simple mathematics. Although it cannot be said with certainty that these are the only basics, but with these basics you can approach higher mathematics with a good understanding. It must be said that we have seen enough of the basics of mathematics at middle level.

There are more fundamental mathematical concepts and ideas to understand. As a first part, these are enough, but we will cover further basics and ideas that will help in understanding in the second part.

Next we need to look at thanks. Thank you for reading so far.

I also have many people to thank. That list is so huge and big. However, I would like to mention two people in particular and thank them.

Those two are important to me writing and continuing to write this.

The first one is my friend Tamilarasan's son Kabilan.

The second one is my literary brother and dear friend Siddharthan.

Tamilarasan is very eager to teach mathematics for his son Kabilan through me. That longing remained unfulfilled for a long time. It is still the same. The simple mathematical approach that I have been writing about was born out of the idea of ​​how to solve that longing, even if there is no time for the two to meet.

I continued to write this for Kabilan. Maybe I would have written to Kabilan as letters in papers if the website opportunity wasn't what it is now.

It wasn't until I started writing for Kabilan that I realized that for many parents, the series helped make math easier for their children. Also, the teachers commented that the series helped their students learn mathematics in a simple way.

When I decided to write this and shared the message, some of my foreign friends asked me to write this in English for their children. Because of that, there was a need to continue writing in Tamil and English as well.

After I started writing this, in some places I felt dizzy that I was writing more with lot of words without compactness.

Brother Siddharthan made it clear that it was necessary. He said that the more words of writing helps a lot to relax and to make flexibly the abstract nature like mathematics.

Also, he mentioned that some areas of this series are very awe-inspiring, surprising and exhilarating.

He encouraged me to continue writing. In Tamil ‘He who has a brother does not fear to fight.' is a famous proverb. I want to say this proverb as, ‘He who has a brother does not fear to write.'

Although the series is written with Kabilan, a twelve-year-old boy in mind, I'm glad to know that it's got everyone enjoyed to read and understand.

Once again my sincere and lovable gratitude to Kabilan and Siddharthan and to you.

I am also publishing it on Amazon Kindle for those who want to read it as a book. The link of the e-book and paper pack is :

https://www.amazon.in/dp/B0BHKYN7FW/ref=sr_1_1?crid=3N5M4SHW51B75&keywords=easy+maths+vikatabharathi...&qid=1665193565&qu=eyJxc2MiOiIwLjU3IiwicXNhIjoiMC4wMCIsInFzcCI6IjAuMDAifQ%3D%3D&s=books&sprefix=easy+maths+vikatabharathi..%2Cstripbooks%2C308&sr=1-1

The idea is to write a simple mathematical approach from time to time, even if it is no longer written continuously. So I invite you to visit this website from time to time.

always with love

Vikatabharathi

*****

பின்னுரையாக ஒரு முன்னுரை

பின்னுரையாக ஒரு முன்னுரை

எளிமையாகக் கணிதத்தை அணுகுவதற்கான அனைத்து அடிப்படைகளையும் இதுவரை நாம் பார்த்திருக்கிறோம். இவ்வளவுதான் அடிப்படைகள் என்று அறுதியிட்டுக் கூற முடியாவிட்டாலும் இந்த அடிப்படைகளைக் கொண்டு நீங்கள் உயர் கணிதத்தை நன்கு புரிந்து கொண்டு அணுக முடியும். அந்த அளவில் போதுமான அளவில் கணித அடிப்படைகளை நாம் பார்த்திருக்கிறோம் என்றுதான் சொல்ல வேண்டும்.

இதற்கு மேலும் அடிப்படையான கணித கருத்துகளும், புரிந்து கொள்வதற்கான விசயங்களும் இருக்கின்றனதான். ஒரு முதல் பாகம் என்ற அடிப்படையில் இவை போதும் என்றாலும் மேலதிக அடிப்படைகளையும் புரிதலுக்கு உதவும் விசயங்களையம் நாம் இரண்டாம் பாகத்தில் பார்ப்போம்.

அடுத்தாக நாம் பார்க்க வேண்டியது நன்றிகளைத்தான். இதுவரை படித்து அறிந்து கொண்ட உங்களுக்கு என் நன்றிகள்.

அத்துடன் நான் பலருக்கும் நன்றி கூற வேண்டும். அந்தப் பட்டியல் பெரியது. இருப்பினும் நான் குறிப்பாக இருவருக்குப் பெயர் குறிப்பிட்டு நன்றி சொல்ல வேண்டும்.

இதை நான் எழுதுவதற்கும் மற்றும் தொடர்ந்து எழுதுவதற்கும் அந்த இருவரும் முக்கியமானவர்கள்.

முதலாமவர் எனது நண்பர் தமிழரசனின் மகன் கபிலன்.

இரண்டாமவர் எனது இலக்கிய அண்ணனும் அன்புத் தோழருமான செ. சித்தார்த்தன்.

கபிலனுக்கு நான் கணிதம் கற்றுத் தர வேண்டும் தமிழரசனுக்கு மிகுந்த ஆவல். அந்த ஆவல் நிறைவேறாமல் பல காலம் அப்படியே கிடந்தது. இப்போதும் அப்படியேத்தான் கிடக்கிறது. இருவரும் சந்தித்துக் கொள்வதற்கான நேரம் அமையாமல் போனாலும் அந்த ஆவலை எப்படித் தீர்ப்பது என்ற யோசனையில் உருவானதுதான் நான் தொடர்ந்து எழுதி வந்த எளிய கணித அணுகுமுறை.

நான் கபிலனுக்காகத்தான் இதைத் தொடர்ந்து எழுதினேன். ஒருவேளை இந்த வலைதள வாய்ப்பு இப்போது இருப்பது போல இல்லையென்றாலும் நான் கடிதமாக எழுதி கபிலனுக்கு அனுப்பியிருப்பேன்.

கபிலனுக்காக எழுதத் துவங்கிய பிறகுதான் தெரிந்தது, பல பெற்றோர்களுக்கு இந்தத் தொடர் அவர்களின் பிள்ளைகளுக்கு எளிமையாகக் கணிதத்தை அணுகுவதற்கு உதவிய விசயம். அத்துடன் ஆசிரியர்களும் தங்கள் மாணவர்களுக்குக் கணிதத்தை எளிமையாகக் கொண்டு சேர்ப்பதற்கு இந்தத் தொடர் உதவியதாகக் கருத்துத் தெரிவித்தனர்.

இப்படி எழுதப் போவதாகத் தீர்மானித்து அந்தச் செய்தியைப் பகிர்ந்து கொண்ட போது என் வெளிநாடு வாழ் நண்பர்கள் சிலர் தங்கள் பிள்ளைகளுக்காக இதை ஆங்கிலத்திலும் எழுத வேண்டும் என்று கேட்டுக் கொண்டனர். அதன் காரணமாக தமிழ் மற்றும் ஆங்கிலத்திலும் தொடர்ந்து எழுத வேண்டிய தேவை உண்டானது.

இதை எழுத ஆரம்பித்த பிறகு சில இடங்களில் நான் வளவளவென்றும் தொணதொணவென்றும் பேசிக் கொண்டு செல்கிறேனோ என்ற மயக்கம் எனக்கு ஏற்பட்டது.

அது தேவைதான் என்பதை அண்ணன் சித்தார்த்தன் தெளிவு செய்தார்கள். கணிதம் போன்ற Abstract Nature கொண்ட ஒன்றை அவ்வபோது தளர்த்திக் கொள்வதற்கும் நெகிழ்வாக எடுத்துச் சொல்வதற்கும் அந்த வளவள, தொணதொண ரொம்பவே உதவுவதாக அண்ணன் சித்தார்த்தான் சொன்னார்கள்.

அத்துடன் இத்தொடரின் ஒரு சில இடங்கள் ரொம்ப பிரமிப்பாகவும் ஆச்சரியம் ஊட்டுவதாகவும் குதூகலம் தருவதாகவும் சித்தார்த்தன் அண்ணன் குறிப்பிட்டார்கள்.

நான் தொடர்ந்து எழுதிக் கொண்டே வந்ததற்கு அண்ணன் தந்த ஊக்கம் காரணம். ‘தம்பி உடையான் படைக்கு அஞ்சான்’ என்று சொல்வதை நான் ‘அண்ணன் உடையான் எழுத அஞ்சான்’ என்று சொல்வேன்.

கபிலன் என்ற பனிரெண்டு வயது நிரம்பிய சிறுவனை மனதில் வைத்து எழுதப்பட்ட தொடர் என்றாலும் இது அனைத்துத் தரப்பினரையும் பெரிதாக ஈரத்திருப்பதை அறியும் போது மகிழ்கிறேன்.

மீண்டும் ஒரு முறை கபிலனுக்கும் சித்தார்த்தனுக்கும் உங்களுக்கும் என்றென்றும் நன்றிகளைத் தெரிவித்துக் கொள்கிறேன்.

இதைப் புத்தகமாகப் படிக்க விரும்புபவர்களுக்காக அமேசான் கிண்டிலிலும் வெளியிடுகிறேன்.  அமேசான் கிண்டில் மின் நூலுக்கான இணைப்பு : https://www.amazon.in/dp/B0BHL2G6X6/ref=sr_1_20?crid=XT6CSBPXEDRB&keywords=vikatabharathi...&qid=1665193287&qu=eyJxc2MiOiIxLjM3IiwicXNhIjoiMC4wMCIsInFzcCI6IjAuMDAifQ%3D%3D&sprefix=vikatabharathi...%2Caps%2C286&sr=8-20

எளிய கணித அணுகுமுறையை இனி தொடர்ச்சியாக எழுதாவிட்டாலும் அவ்வபோது எழுதும் யோசனை இருக்கிறது. ஆகவே அவ்வபோது இந்த வலைப்பூவின் முகவரிக்கு வருகை தந்து பாருங்கள் என்ற அழைப்பையும் இப்போதே விடுக்கிறேன்.

என்றும் அன்புடன்

விகடபாரதி

*****

Shall we move towards the values of central or representative?

Shall we move towards the value of central or representative?

 Wherever we go, we must eventually come home. ie towards the centre. Is that why they say life is a circle?

Along with getting centered, knowing centeredness is important in all walks of life. For this, statistics is the child born of mathematics.

It starts with its central or representative values.

Take the rain. It rains more or less every year. But don't you need to know the average rainfall every year!

You are told the marks you buy for each subject. At the end, let it say the word average mark? Oh yes, you say?

In all these averages play an important role. What do you mean by average?

See how many numbers they have given. Add it all up. Have you gathered? Now divide the sum by the number of numbers you have added. That's the average.

For example take five numbers 1, 2, 3, 4, 5. If you add these five numbers, you will say 15. The formula for this is (n(n+1)/2). Now divide this 15 by five. Because we have only added five numbers. Does it answer to 3? This is the average.

You say, Oh this is simple? Similarly you want to find the average height of the students in your class. what will you do? You are saying that you have to find the height of each person and write it down and then add it all up and divide the sum by the number of people's heights you have added up.

And do you mean it will take at least a few hours to do this? Don't worry. There is a way for that too. Arrange the students in your class according to height. Take only the one in the middle of the row and measure his height only. That's the average there. But this average is called median.

If it comes right definetly it comes right.

For example, take the set of numbers 1, 2, 3, 4, 5 that we have taken to find the mean above. Here arrange the numbers in ascending order or descending order i.e. write them as you arranged the students by height there. Look at the number in the center.

The set of numbers 1, 2, 3, 4, 5 we have taken is in ascending order. Then look at the number in the middle. 3 itself? This is the average we found. See if it matches.

Then there is another central or representative value.

Before that you need to take yourself to a shop.

Go to a shoe store. There is a need for all kinds of shoes, but if you buy a lot of all kinds of shoes, don't you know paralyzed the capital or investment? So you know what a shopper of shoes does? He buys more numbered shoes that selling more and keeps less number of other numbered shoes that selling low.

For example, number seven, number eight, and number nine shoes sell the most. Shoes in those numbers will fit the feet of many people from 20 years old to eighty years old. Most of the shoes in that number are sold. Even though the shoes come in many sizes, the number eight shoes are more common in shoe stores. This eight is the average for that particular store. But this is not called average but called ‘mode’. That is, whichever number occurs many times.

Take the game of dice. Only one of the six numbers will fall. Whichever number occurs many times is your mode.

You mean give an example in numbers too? OK, we have to give.

2, 3, 4, 1, 2, 4, 6, 7, 2, 8, 2 – Look at these numbers. The number 2 occurs maximum 4 times. So its mode is 2.

Now a question. Given a set of numbers in which no number occurs more than once, how do you find the mode? Can't find the mode! So it has no mode.

Now you know about the three types of measures of central or representative values, mean, median, and mode?

That's it, we've covered enough of the simple math basics. Let's complete the first part for simple math basics.

Even though it has been said before, what do you mean you have suddenly completed it? So let's complete the next day.

*****

மையத்தை நோக்கிச் செல்வோமா?

மையத்தை நோக்கிச் செல்வோமா?

 நாம் எங்குச் சுற்றினாலும் கடைசியில் வீட்டை நோக்கி வந்துதானே ஆக வேண்டியிருக்கிறது. அதாவது மையத்தை நோக்கி. அதனால்தான் வாழ்க்கை ஒரு வட்டம் என்று சொல்கிறார்களோ என்னவோ?

மைய நிலைக்கு வருவதோடு, மைய நிலையை அறிந்து கொள்வது வாழ்க்கையின் எல்லா துறைகளிலும் முக்கியமானதாக இருக்கிறது. இதற்கென்று கணிதம் பிரசவித்த குழந்தைதான் புள்ளியியல் எனலாம்.

அதன் அடிப்படை மையநிலையில்தான் தொடங்குகிறது.

மழைப் பெய்வதை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். கூடுதலாகவோ, குறைவாகவோ ஒவ்வொரு ஆண்டும் பெய்கிறது. இருந்தாலும் ஒவ்வோர் ஆண்டிலும் சராசரி மழைப்பொழிவு எவ்வளவு என்பதை அறிய வேண்டிய தேவை இருக்கிறதல்லவா!

நீங்கள் வாங்கும் மதிப்பெண்களை ஒவ்வொரு பாடமாகச் சொல்கிறீர்கள். கடைசியில் அது கிடக்கட்டும் சராசரி மதிப்பெண் (ஆவரேஜ் மார்க்) எவ்வளவு என்ற வார்த்தையை விடாமல் இருக்கிறார்களா? அட ஆமாம் என்கிறீர்களா?

இப்படி எல்லாவற்றிலும் இந்த சராசரி முக்கியமான இடத்தை வகிக்கிறது. அதுசரி இதென்ன சராசரி என்கிறீர்களா?

எத்தனை எண்கள் கொடுத்திருக்கிறார்கள் என்று பாருங்கள். அத்தனையையும் கூட்டிக் கொள்ளுங்கள். கூட்டிக் கொண்டீர்களா? இப்போது எத்தனை எண்களைக் கூட்டிக் கொண்டீர்களோ அந்த எண்ணிக்கையால் கூட்டுத்தொகையை வகுத்து விடுங்கள். அதுதான் சராசரி.

உதாரணத்துக்கு 1, 2, 3, 4, 5 என்ற ஐந்து எண்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இந்த ஐந்து எண்ணையும் வட்டினால் 15 என்று சொல்லி விடுவீர்கள். இதற்கான சூத்திரத்தை (n(n+1)/2 என்றுதான் நாம் வருவித்து இருக்கிறோமே. இப்போது இந்த 15 ஐ ஐந்தால் வகுத்து விடுங்கள். ஏனென்றால் நாம் ஐந்து எண்களைத்தானே கூட்டியிருக்கிறோம். 3 என்று வருகிறதா? இதுதான் சராசரி.

ஆகா எளிமையாக இருக்கிறது என்கிறீர்களா? இதே போல உங்கள் வகுப்பில் உள்ள மாணவர்களுடைய உயரங்களின் சராசரியைக் காண வேண்டும். என்ன செய்வீர்கள்? ஒவ்வொருவரின் உயரத்தையும் கண்டுபிடித்து எழுதிக் கொண்டு அத்தனையையும் கூட்டிக் கொண்டு எத்தனை பேரின் உயரங்களைக் கூட்டிக் கொண்டீர்களோ அந்த எண்ணிக்கையால் கூட்டுத்தொகையை வகுக்க வேண்டும் என்றுதானே சொல்கிறீர்கள்.

அத்துடன் இப்படிச் செய்ய சில மணி நேரங்களாவது தேவைப்படும் என்கிறீர்களா? கவலைப்படாதீர்கள். அதற்கும் ஒரு வழி இருக்கிறது. உங்கள் வகுப்பு மாணவர்களை உயரப்படி வரிசையாக நிறுத்துங்கள். அவர்களில் வரிசையின் நடுவில் இருப்பவரை மட்டும் அழைத்து அவரின் உயரத்தை மட்டும் அளந்து சொல்லுங்கள். அதுதான் அங்கே சராசரி. ஆனால் இந்தச் சராசரியை இடைநிலை என்பார்கள்.

இது சரியாக வருமா என்றால் சரியாக வரும்.

உதாரணத்துக்கு நாம் மேலே சராசரி காண எடுத்துக் கொண்ட 1, 2, 3, 4, 5 என்ற எண் தொகுப்பை அப்படியே எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அங்கே மாணவர்களை உயரப்படி நிறுத்தியதைப் போல இங்கே எண்களை ஏறு வரிசையிலோ அல்லது இறங்கு வரிசையிலோ நிறுத்துங்கள் அதாவது எழுதுங்கள். மையமாக உள்ள எண்ணை எடுத்துப் பாருங்கள்.

நாம் எடுத்துக் கொண்ட 1, 2, 3, 4, 5 என்ற எண் தொகுப்பு ஏறு வரிசையில்தானே இருக்கிறது. அப்படியானால் இதில் நடுவில் அதாவது மையமாக உள்ளள எண்ணைப் பாருங்கள். 3 தானே? இதுதானே நாம் கண்டுபிடித்த சராசரியும். ஆக ஒத்து வருகிறது பாருங்கள்.

அப்புறம் இன்னொரு மையநிலை அளவும் இருக்கிறது.

அதற்கு முன்பு உங்களை ஒரு கடைக்குக் கூட்டிச் செல்ல வேண்டும்.

ஒரு செருப்புக்கடைக்கு வாருங்களேன். அங்கே எல்லா எண்ணிலுமான செருப்புகள் தேவை என்றாலும் எல்லா எண்ணிலும் ஏகப்பட்ட செருப்புகளை வாங்கி வைத்தால் முதல் முடங்கி விடும் அல்லவா? ஆகவே செருப்புக்கடைக்காரர் என்ன செய்வார் தெரியுமா? அதிகமாக விற்பனை ஆகும் எண்ணில் உள்ள செருப்புகளை அதிகமாகவும் மற்ற எண்களில் உள்ள செருப்புகளைக் குறைந்த எண்ணிக்கையிலும் வாங்கி வைத்துக் கொள்வார்.

உதாரணமாக ஏழாம் எண், எட்டாம் எண், ஒன்பதாம் எண்ணுள்ள செருப்புகள் அதிகம் விற்பனையாகும். அந்த எண்களில் உள்ள செருப்புகள் 20 வயதிலிருந்து எண்பது வயது வரையுள்ள பலரின் கால்களுக்குப் பொருத்தமாக இருக்கும். அதிகமாக அந்த எண்ணிலுள்ள செருப்புகள்தான் விற்பனை ஆகும். செருப்புகள் பல எண்களில் இருந்தாலும் செருப்புக் கடைகளில் எட்டாம் எண்ணுள்ள செருப்புகள் அதிகமாக இருக்கும். இந்த எட்டு என்பதுதான் அந்தக் குறிப்பிட்ட கடையின் சராசரி எனலாம். ஆனால் இதைச் சராசரி என்று சொல்லாமல் முகடு என்பார்கள். அதாவது எந்த எண் அதிகமாக இடம் பெறுகிறதோ அந்த எண்தான் முகடு.

பகடை விளையாட்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அதில் ஆறு எண்களில் ஒன்றுதான் விழப் போகிறது. எந்த எண் உங்களுக்கு அதிகமாக விழுகிறதோ அந்த எண்தான் உங்களின் முகடு எனலாம்.

எண்களிலும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு தாருங்கள் என்கிறீர்களா? தந்து விட்டால் போயிற்று.

2, 3, 4, 1, 2, 4, 6, 7, 2, 8, 2 – இந்த எண்களைப் பாருங்கள். இதில் 2 என்ற எண்தானே அதிகபட்சமாக 4 முறைகள் வந்துள்ளது. ஆகவே இதன் முகடு 2.

இப்போது ஒரு கேள்வி. எந்த எண்ணும் ஒரு முறைக்கு மேல் வராத எண்களின் தொகுப்புக் கொடுத்தால் எப்படி முகடு கண்டுபிடிப்பீர்கள். முகடு கண்டுபிடிக்க முடியாது அல்லவா! ஆகவே அதற்கு முகடு இல்லை.

இப்போது நீங்கள் சராசரி, இடைநிலை, முகடு என்ற மூன்று வகையான மையநிலை அளவுகள் பற்றித் தெரிந்து கொண்டீர்களா?

அவ்வளவுதான், நாம் போதுமான அளவில் கணித அடிப்படைகளைப் பார்த்து விட்டோம். எளிய கணித அடிப்படைகளுக்கான முதல் பாகத்தை நிறைவு செய்து கொள்வோம்.

முன்பே சொல்லி விட்டதுதான் என்றாலும் என்ன இப்படித் திடீரென நிறைவு செய்து விட்டீர்களே என்கிறீர்களா? அப்படியானால் நாளை நிறைவு செய்து கொள்வோம்.

*****

Shall we draw maths?

Shall we draw maths?

We have already seen about graph paper. Graph papers help us a lot in learning about geometric shapes and number lines.

We can't forget the help that the graph paper made in learning about area.

It can be said that mathematics and graphs not be separated.

It is the graph paper that gives shape to mathematics, which is numbers. We'll see how it goes.

Before that you must be familiar with graph paper. Let's compile them.

Let's draw a horizontal line as the center of the graph paper. The horizontal line lying on this is taken as the X axis.

In this we will note the positive numbers (plus numbers) to the right of the central zero and the negative numbers (minus numbers) to the left of zero.

Now let's establish a vertical line through the zero of the horizontal line X axis? This vertical line is called the Y axis.

The X axis cuts through the center of this Y axis. From there let's note the positive numbers (plus numbers) above the zero and the negative numbers (minus numbers) below the zero.

Now the horizontal line and vertical line i.e. X axis and Y axis together divide the graph paper into four parts?

These four quarters are divided into first quarter, second quarter, third quarter and fourth quarter.

The first quadrant is the area enclosed by the plus number lines of the X and Y axes.

The second quadrant is the area enclosed by the negative number (minus number) line on the X axis and the positive number (plus number) line on the Y axis.

The third quadrant is the area enclosed by the negative number (minus number) line on the X axis and the negative number (minus number) line on the Y axis.

The fourth quadrant is the area bounded by the positive number (plus number) line on the X axis and the negative number (minus number) line on the Y axis.

You can see this in the picture below.

All you need to know is how to mark the points. If two numbers are taken as a pair that is the marking point of the graph paper.

For example take (2, 3) which is a point. The first number of this point corresponds to the X axis and the second number corresponds to the Y axis. That is, the point (2, 3) is where the X-axis 2 and the Y-axis 3 meet. This point is located in the first quarter. This is because both are positive numbers (plus numbers). The first quadrant is bounded by the plus number lines of the two axes.

So if we take (-2, 3) it will be in the second quarter. Because the first number of this point -2 is negative number (minus number) we will take it on negative number (minus number) line segment of X axis. Since the second number of point 3 is a positive number (plus number) we take the positive number of the Y axis in the line segment. The point where these two numbers meet is (-2, 3).

If we take the point (-2, -3) since both the numbers of the point are negative numbers, then the negative number of both axes is taken in the line segment, so the point will be in the third quadrant.

If we take (2, -3) since the first number 2 is a positive number (plus number) on the positive number (plus number) line of the X axis and the second number -3 is a negative number (minus number) it is taken on the minus number line of the Y axis so it is the fourth quarter.

These are all your well-known concepts.

The main benefit of this graph paper, as I said earlier, is the shape it gives to numbers.

It is the graph number that gives the numbers a form called a number line.

Now let's take the table below that we saw in the proportionality?

Numerator	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Denominator	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40

Oh! Again we are saying that it is a direct proportion. Aren't all math topics interrelated?

What does the above table indicate?

Let's say it represents fractions, represents direct proportion, represents multiples, represents the side and perimeter of a square. It can also be said that it indicates the marking points on the graph paper.

You say so? Yes, that's right.

Now take numerator as X and denominator as Y. Oh yes, you say?

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40

Now if we take a number from X and a number from Y, the points we need to mark are ready.

Before that, how do these points lie, can we note that y = 4x? So all numbers in y are multiples of 4x? So the equation we have taken is correct?

Now let's look at the points to be marked. That is, we take a number from X and a number from Y to generate points.

(1, 4)

(2, 8)

(3, 12)

(4, 16)

(5, 20)

(6, 24)

(7, 28)

(8, 32)

(9, 36)

(10, 40)

Note these points on the graph paper . Just connect the points.

The picture you see now is the graph for a direct proportion that we created in the table. It is simply a graph showing the relationship between the side size and the perimeter of a square. It's just a graph showing multiples of four. That's just the graph for the equation y = 4x.

Not only that, but it is also a graph of functions as you will learn in the upper classes.

You will also learn that any algebraic equation can be graphed like this on graph paper.

A graph sheet is a basic tool of 2D i.e., two dimension. You will also understand that this fundamental helps you to understand from 3D to n-Dimension.

Also take a table for inverse ratio and note its points on the graph paper. You can also understand how its graph is structured.

What's next? I understand what you're asking.

We are almost at the end of easy maths. Before that, I think we can conclude by talking about statistical basic measures of central or representative value.

*****