பிதாகரசும் போதாயனரும்!

பிதாகரசும் போதாயனரும்!

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ண பக்கத்தின் வர்க்கமானது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்பது பிதாகரஸ் தந்த தேற்றமாகும்.

போதாயனர் ஒரு தமிழ்ப் புலவர். கணிதவியலாளரும் கூட. கி.மு. எட்டாம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்ததாகக் கருதப்படுகிறார். அவர் செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணப் பக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான வழிமுறையைப் பின்வரும் செய்யுள் மூலமாக விளக்குகிறார்.

“ஓடும் நீளம் தனை ஒரே எட்டுக் கூறாக்கி

கூறிலே ஒன்றைத் தள்ளி

குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால்

வருவது கர்ணம் தானே.”

இச்செய்யுள் என்ன சொல்ல வருகிறது என்றால்,

“ஓடும் நீளம் தனை ஒரே எட்டுக்கூறாக்கி கூறிலே ஒன்றைத் தள்ளி” என்பது செங்கோண முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கத்தின் 7/8 பங்கைக் குறிப்பிடுகிறது.

“குன்றத்தில் பாதி” என்பது உயரத்தின் பாதியைக் குறிப்பிடுகிறது.

“சேர்த்தால்” என்பது மேற்படி இரு அளவுகளையும் கூட்டுவதைக் குறிப்பிடுகிறது. இப்படிச் செய்து பார்த்தால் கர்ணத்தின் மதிப்பானது கிடைக்கிறது.

இச்செய்யுள் எல்லா நிலைகளிலும் ஒத்து வராவிட்டாலும், சில நிலைகளில் ஒத்து வருகிறது. கர்ணப் பக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான வழிமுறையைச் சொல்கிறது.

இச்செய்யுளானது வர்க்கம் மற்றும் வர்க்கமூலம் காணாமலே பின்னத்தைப் பயன்படுத்தி எளிமையாகக் கர்ணப்பக்கத்தைக் கண்டறியும் வழிமுறையைக் கூறுகிறது. இது இச்செய்யுளின் சிறப்பம்சம் எனலாம்.

உதாரணமாக அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் அளவுகள் 4 மற்றும் 3 என அமையும் செங்கோணத்தின் கர்ணப் பக்கத்தின் வர்க்கமானது பிதாகரஸ் தேற்றப்படி √4²+3² = 5 என அமையும்.

போதாயனர் செய்யுளின்படி 7/8×4 + ½ × 3 = 3.5 + 1.5 = 5 என அமையும். அடிப்பக்கம் 4 எனவும் உயரம் 3 எனவும் எடுத்துக் கொள்ளும் போது இச்செய்யுள் சரியாக அமைவதைக் கவனிக்கவும். மாற்றி அடிப்பக்கம் 3 எனவும் உயரம் 4 எனவும் எடுத்தால் சரியாக அமையாது. இது ஒன்றுதான் இச்செய்யுளின் குறைபாடு எனலாம்.

இதே போல அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் அளவுகள் 8 மற்றும் 6 என அமையும் செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணப் பக்கத்தின் வர்க்கமானது பிதாகரஸ் தேற்றப்படி √8²+6² = 10 என அமையும்.

போதாயனர் செய்யுளின்படி 7/8×8 + ½ × 6 = 7 + 3 = 10 என அமையும். இதிலும் அடிப்பக்கம் 8 எனவும் உயரம் 6 எனவும் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். மாற்றி எடுத்தால் சரியாக அமையாது.

இதே போல அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் அளவுகள் 12 மற்றும் 5 என அமையும் செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணப் பக்கத்தின் வர்க்கமானது பிதாகரஸ் தேற்றப்படி √12²+5² = 13 என அமையும்.

போதாயனர் செய்யுளின்படி 7/8×12 + ½ × 5 = 10.5 + 2.5 = 10 என அமையும். இதிலும் அடிப்பக்கம் 12 எனவும் உயரம் 5 எனவும் எடுத்துக் கொள்வதைக் கவனிக்கவும்.

மேலை நாட்டினர் பிதாகரஸ் தேற்றப்படி கர்ணப்பக்க்ததின் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்த காலத்தில் நம் தமிழர்கள் போதாயனர் செய்யுளைப் பயன்படுத்தி கர்ணப்பக்கத்தின் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்திருப்பர் என்பதை அறியும் போது தமிழர்களாகிய நமக்கு பெருமையாகத்தானே இருக்கிறது.

கணித ஆர்வலர்களாகிய உங்களுக்கு இத்தகவல் வியப்புக்குரியதாகவும் பயனுள்ளதாகவும் அமைந்திருக்கும் என்று நம்புகிறேன்.

நன்றி!

வணக்கம்!

*****