எவ்வாறு எண்களை எளிமையாக அறிமுகம் செய்யலாம்?

எவ்வாறு எண்களை எளிமையாக அறிமுகம் செய்யலாம்?

கணிதம் என்றால் எண்கள் என்றுதான் சொல்ல வேண்டும். எண்ணுதல் என்ற அடிப்படையிலிருந்துதான் எண்கள் பிறக்கின்றன.

புளியங்கொட்டைகள் அல்லது மணிகள் போன்ற எளிய துணைக்கருவிகளே எண்ணுதலைச் சொல்லிக் கொடுப்பதற்குப் போதுமானது.

எண்ணுதலின் தொடக்கமாக ‘ஒன்று’ அமைகிறது. எண்ணுதலின் மிகச் சிறிய எண்ணும் அதுவே. ஒன்றிலிருந்து எண்ணத் தொடங்கினால் அது முடிவின்றி நீள்கிறது. அதன் முடிவை ஆயிரம், இலட்சம், கோடி என்று எந்த இடத்திலும் நிறுத்தி விட முடியாது. எண்ணுதலுக்குப் பயன்படும் இந்த எண்களே இயல் எண்கள் ஆகின்றன.

புளியங்கொட்டைகளையோ அல்லது மணிகளையோ கொடுத்து எண்ணச் சொல்லும் போது அவற்றை எண்ணி ஓர் எண்ணிக்கையை எண்ணாகச் சொல்ல முடியும். உங்களிடம் ஒரு புளியங்கொட்டையையோ அல்லது ஒரு மணியையோ கொடுக்கவில்லை என்றால் நீங்கள் எப்படி அதன் எண்ணிக்கையைச் சொல்வீர்கள்?

ஒன்றுமே கொடுக்காமல் எப்படி எண்ணிச் சொல்வது என்றுதானே கேட்பீர்கள். ஆம் எண்ணுதவற்கு ஒன்று கூட கொடுக்கவில்லைதானே. எண்ணுவதற்கு அங்கே ஒன்றுமில்லை. அதாவது ஒன்று கூட இல்லை. இந்த ஒன்றுமில்லை என்பதுதான் சுழியம் அல்லது பூச்சியம் அல்லது ஜீரோ.

எண்ணுவதற்கு உகந்த எண்களின் தொகுப்பைக் கொண்ட இயல் எண்களோடு பூச்சியத்தை இணைத்துக் கொண்டால் அந்த எண் தொகுப்பு முழு எண்கள் ஆகின்றது.

இயல் எண்களில் ஒன்றிலிருந்து தொடங்கி முடிவற்று நீள்கிறது என்றால் முழு எண்கள் பூச்சியத்தில் தொடங்கி முடிவற்று நீள்கிறது. இப்போது உங்களுக்கு பூச்சியத்திலிருந்து ஒன்றில் தொடங்கி முடிவற்று நீளும் ஓர் எண் தொகுப்புக் கிடைத்து விடுகிறது.

அடுத்ததாக இப்படி ஒரு நிகழ்வைக் கற்பனை செய்யுங்கள். கடல் மட்டத்திலிருந்து மேலே வானத்தில் ஒரு வானூர்தி 500 மீட்டர் தொலைவில் பறக்கிறது. அதே போல கடல் மட்டத்திலிருந்து கீழே கடலுக்குள் ஒரு நீர்மூழ்கிக் கப்பல் 500 மீட்டர் ஆழத்தில் பயணிக்கிறது. இந்த இரண்டின் உயரங்களையும் எப்படிச் சொல்வீர்கள்.

ஒன்று கடல் மட்டத்திற்கு மேலே இருக்கிறது. மற்றொன்று கடல் மட்டத்திற்குக் கீழே இருக்கிறது. இரண்டும் மேலேயும் கீழேயும் சரியாக 500 மீட்டர் தொலைவில் இருக்கிறது. ஆனால் மேலே இருக்கும் 500 மீட்டரும், கீழே இருக்கும் 500 மீட்டரும் ஒன்றல்ல என்பது உங்களுக்குப் புரிகிறது அல்லவா. இதை வேறுபடுத்தவே எண்களுக்கு மிகைத் தன்மையும் குறைத் தன்மையும் கொடுக்க வேண்டிய நிலை ஏற்படுகிறது. மேலே பறக்கின்ற வானூர்தியை மிகை மதிப்பிலும் அதாவது +500 மீட்டர் என்றும் கீழே பயணிக்கின்ற நீர்மூழ்கிக்கப்பலை குறை மதிப்பிலும் அதாவது -500 என்று குறிப்பிடுகின்ற மரபு கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இதிலிருந்து மிகை மதிப்பில் உள்ள ஒவ்வோர் எண்ணுக்கும் குறை மதிப்பிலுள்ள ஓர் எண்ணைச் சொல்லலாம் என்பது புரிகிறது அல்லவா. அதாவது +2 என்ற ஓர் எண்ணைச் சொன்னால் -2 என்ற ஓர் எண்ணையும் சொல்லலாம் அல்லவா. இதனால் எண்களை மிகை எண்கள், குறை எண்கள் என்ற வகையில் பிரிக்கலாம் அல்லவா.

நாம் ஏற்கனவே பார்த்த முழு எண்களோடு இதனால் அதன் இடப்பக்கமாக -1, -2, -3, … என்ற எண்தொகுப்பை இதனால் இணைக்கலாம் அல்லவா. இப்போது நமக்கு என்ன கிடைக்கிறது? பூச்சியத்திற்கு வலது பக்கமாக மிகை மதிப்புடைய எண்களும் அதற்கு இடப்பக்கமாக குறை மதிப்புடைய எண்களும் தொகுப்பும் கிடைக்கிறது அல்லவா.

அந்த எண் தொகுப்பானது … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …என்று அமைகிறதுதானே? இவ்வெண் தொகுப்பையே முழுக்கள் என்கிறோம். அதாவது முழு எண்களோடு குறை எண்கள் இணைந்த ஓர் எண் தொகுப்பு. இதில் மிகை மதிப்புடைய எண்களை மிகை முழுக்கள் என்றும் குறை மதிப்புடைய எண்களை குறை எண்கள் என்றும் சொல்கிறோம்.

அவ்வளவுதானா எண் தொகுப்பு? வேறு ஏதும் எண் தொகுப்புகள் இருக்கிறதா என்றுதானே கேட்கிறீர்கள்?

இதற்கு மேலும் சில எண் தொகுப்புகள் இருக்கத்தான் செய்கிறது. இப்போது பூச்சியம் மற்றும் ஒன்று ஆகிய இரு எண்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இந்த இரு எண்களுக்கும் இடையே வேறு எண்கள் இருக்கிறதா இல்லையா என்பது கேள்வி. எங்கே பதில் சொல்லுங்கள் பார்ப்போம். இல்லை என்று சொல்கிறீர்களா? அதுதான் இல்லை. இந்த இரண்டு எண்களுக்கு இடையே எண்ணற்ற எண்கள் இருக்கின்றன.

அதெப்படி பூச்சியம் மற்றும் ஒன்றுக்கு இடையே வேறு எண்கள் இருக்க முடியும்? நாம் இதுவரை குறிப்பிட்ட எண்கள் எல்லாம் முழுமையான எண்கள். அதனால்தான் அதன் பெயரைக் கூட முழுக்கள் என்று குறிப்பிட்டோம். அப்படியானால் முழுமையில்லாத எண்கள் அதாவது முழுமையாக ஒரு பொருளைக் குறிப்பிட முடியாத அளவுக்கு அரைவாசி பொருள், கால்வாசி பொருள், முக்கால்வாசி பொருளும் இருக்கும்தானே.

அதெப்படி இருக்கும் என்கிறீர்களா? நீங்கள் ஒரு ஆப்பிளை வாங்குவதாக வைத்துக் கொள்வோம். உங்களிடம் ஒரு ஆப்பிள் வாங்குவதற்கு மட்டும்தான் பணம் இருப்பதாகவும் வைத்துக் கொள்வோம். நீங்கள் ஆப்பிள் வாங்கி அதைச் சாப்பிடப் போகும் நேரம் பார்த்து உங்கள் ஆருயிர் நண்பர் வந்து விட்டார். இப்போது என்ன செய்வீர்கள்? உங்களிடம்தான் இன்னொரு ஆப்பிள் வாங்கவும் பணமில்லையே. ஆப்பிளை இரண்டாகப் பிரித்து உங்கள் நண்பரோடு பகிர்ந்து கொள்வீர்கள்தானே. இப்போது நீங்கள் முழு ஆப்பிளையா பகிர்ந்து கொண்டீர்கள்? பாதி ஆப்பிளைதானே. அதாவது முழுமை இல்லாத பாதி ஆப்பிளைதானே பகிர்ந்து கொண்டீர்கள். இதை எண்ணில் எப்படிச் சொல்வீர்கள்? ஒன்றின் கீழ் இரண்டு என்று பின்ன வடிவில்தானே சொல்வீர்கள். இதை வழக்கில் அரை என்று சொல்கிறோம்தானே. இந்த அரை எங்கே இருக்கும் என்று இப்போது யோசியுங்கள். அது பூச்சியத்திற்கும் ஒன்றுக்கும் இடையில்தானே இருக்கும். அதாவது ஒன்றில் பாதி. இதே போல கால், முக்கால் போன்ற எண்களும் அவற்றுக்கு இடையில்தான் இருக்கும். இது மட்டுமல்ல இன்னும் எண்ணற்ற பின்ன எண்கள் அவற்றிக்கிடையே இருக்கின்றன. இதே போல இரு முழுக்களிடையே எண்ணற்ற பின்ன எண்கள் இருக்கின்றன.

இந்த பின்ன எண்களைத்தான் விகிதமுறு எண்கள் என்று சொல்கிறோம். அதாவது விகிதப்படுத்தக் கூடிய எண்கள். அப்படியானால் விகிதப்படுத்த முடியாத எண்களும் இருக்கிறதா என்றால் இருக்கின்றன. அவற்றை விகிதமுறா எண்கள் என்கிறோம். அது எப்படி இருக்கும் என்கிறீர்களா? இரண்டின் வர்க்கமூலம், மூன்றின் வர்க்கமூலம், வட்டத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவுகளில் பயன்படுத்தப்படும் பை போன்ற எண்கள் அந்த வகையைச் சார்ந்தவை.

இவ்வளவுதானா எண்கள்? இன்னும் ஏதேனும் கற்பனை செய்து எண்கள் இருக்கிறது என்று கூறுவீர்களா என்று கேட்டால் கற்பணை எண்கள் என்ற எண்களும் கணக்கில் இருக்கின்றது. அது குறித்து இப்போதே கற்பனையை ஓட விட வேண்டாம். படிப்படியாக ஒவ்வொரு வகுப்பைக் கடக்கும் போது ஒன்பதாம் வகுப்பில் நீங்கள் கற்பனை எண்களையும் கற்பனை செய்து பார்க்கலாம்.

எண்கள் குறித்த இந்த அறிமுகம் உங்களுக்குப் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன். இதில் வேறு ஏதேனும் ஐயப்பாடுகள் இருந்தாலோ, புரிந்து கொள்வதில் சிரமம் இருந்தாலோ அது பற்றிக் கருத்துப்பெட்டியில் உங்கள் எண்ணங்களைப் பகிர்ந்து கொள்ளுங்கள்.

தொடர்ந்து இனிவரும் நாட்களில் கணிதத்தோடு பயணிப்போம்.

நன்றி குழந்தைகளே மற்றும் கணித அன்பர்களே.

*****