கணிதத்திற்குக் கட்டம் கட்டுவோமா?

கணிதத்திற்குக் கட்டம் கட்டுவோமா?

நாம் கட்டத்தாள் பற்றி முன்பே பார்த்து விட்டோம். வடிவியல் வடிவங்களை, எண் கோடுகளைப் பற்றிக் கற்றுக் கொள்வதில் கட்டத்தாள் நமக்குப் பெரிதும் உதவி இருக்கிறது.

பரப்பளவு பற்றிக் கற்றுக் கொள்ள கட்டத்தாள் செய்த உதவியை நம்மால் மறக்க முடியாது.

கணிதத்தையும் கட்டத்தாளையும் பிரிக்க முடியாது என்றே சொல்லலாம்.

எண்களாக இருக்கும் கணிதத்திற்கு உருவம் கொடுப்பது கட்டத்தாள்தான். அது எப்படி என்பதைத்தான் நாம் பார்க்க இருக்கிறோம்.

அதற்கு முன் கட்டத்தாள் பற்றி உங்களுக்கு நன்கு தெரிந்திருக்கும். அவற்றைத் தொகுத்துப் பார்த்துக் கொள்வோம்.

கட்டத்தாளின் மையமாக ஒரு படுக்கைக் கோட்டை வரைந்து கொள்வோம். இந்தப் படுக்கையில் கிடக்கும் கிடைமட்ட கோடுதான் X அச்சு எனக் கொள்ளப்படுகிறது.

இதில் மையமாகப் பூஜ்ஜியத்தைக் குறித்து வலது பக்கம் மிகை எண்களையும் (ப்ளஸ் நம்பர்கள்), பூஜ்ஜியத்தின் இடது பக்கம் குறை எண்களையும் (மைனஸ் நம்பர்கள்) குறித்துக் கொள்வோம்.

இப்போது படுக்கைக் கோடான X அச்சின் பூஜ்ஜியத்தின் வழியே நிற்கும் கோட்டை அதாவது செங்குத்துக் கோட்டை நிலைநிறுத்துவோமா? இந்தக் நிற்கும் கோடு அதாவது செங்குத்துக் கோடுதான் Y அச்சு எனப்படுகிறது.

இந்த Y அச்சின் மையமாகத்தானே X அச்சு வெட்டுகிறது. அங்கிருந்து மேலாக மிகை எண்களையும் (ப்ளஸ் நம்பர்கள்) கீழாகக் குறை எண்களையும் (மைனஸ் நம்பர்கள்) குறித்துக் கொள்வோம்.

இப்போது படுக்கைக் கோடும், நிற்கும் கோடும் அதாவது X அச்சும் Y அச்சும் சேர்ந்து கட்டத்தாளை நான்கு பாகங்களாகப் பிரித்து விடுகின்றனவா?

இந்த நான்கு கால் பாகங்களும் முதல் கால்பாகம், இரண்டாம் கால்பாகம், மூன்றாம் கால்பாகம், நான்காம் கால்பாகம் எனப் பிரித்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

X மற்றும் Y அச்சின் மிகை எண் (ப்ளஸ் நம்பர்) கோடுகளால் அடைபட்ட பகுதிதான் முதல் கால்பாகம்.

X அச்சின் குறை எண் (மைனஸ் நம்பர்) கோடு மற்றும் Y அச்சின் மிகை எண் (ப்ளஸ் நம்பர்) கோடுகளால் அடைபட்ட பகுதிதான் இரண்டாம் கால்பாகம்.

X அச்சின் குறை எண் (மைனஸ் நம்பர்) கோடு மற்றும் Y அச்சின் குறை எண் (மைனஸ் நம்பர்) கோடுகளால் அடைபட்ட பகுதிதான் மூன்றாம் கால்பாகம்.

X அச்சின் மிகை எண் (ப்ளஸ் நம்பர்) கோடு மற்றும் Y அச்சின் குறை எண் (மைனஸ் நம்பர்) கோடுகளால் அடைபட்ட பகுதிதான் நான்காம் கால்பாகம்.

இதை நீங்கள் கீழே உள்ள படத்தில் பார்த்தும் தெரிந்து கொள்ளலாம்.

இதில் புள்ளிகளை எப்படிக் குறிப்பது என்பது நீங்கள் அறிந்ததுதான். இரண்டு எண்களை ஒரு சோடியாக எடுத்துக் கொண்டால் அதுதான் கட்டத்தாளின் குறிப்பதற்கான புள்ளி.

உதாரணமாக (2, 3) என எடுத்துக் கொண்டால் அது ஒரு புள்ளி. இந்தப் புள்ளியின் முதல் எண் X அச்சிற்குரியது என்றால் இரண்டாவது எண் Y அச்சிற்குரியது. அதாவது X அச்சின் 2 ம், Y அச்சின் 3 ம் எங்கே சந்திக்கிறதோ அதுதான் (2, 3) என்கிற புள்ளி. இப்புள்ளி முதல் கால் பாகத்தில் அமையும். காரணம் இரண்டுமே மிகை எண்கள் (ப்ளஸ் நம்பர்) என்பதால். முதல் கால்பாகம்தான் இரு அச்சுகளின் மிகை எண் (ப்ளஸ் நம்பர்) கோடுகளால் அடைபடுகிறது.

அப்படியானால் (-2, 3) என எடுத்துக் கொண்டால் அது இரண்டாம் கால் பாகத்தில் அமையும். ஏனென்றால் இப்புள்ளியின் முதல் எண்ணான -2 குறை எண் (மைனஸ் நம்பர்) என்பதால் நாம் அதை X அச்சின் குறை எண் (மைனஸ் நம்பர்) கோட்டுப் பகுதியில் எடுப்போம். புள்ளியின் இரண்டாம் எண்ணான 3 மிகை எண் (ப்ளஸ் நம்பர்) என்பதால் Y அச்சின் மிகை எண் கோட்டுப் பகுதியில் எடுப்போம். இவ்விரு எண்களும் சந்திக்கும் புள்ளிதான் (-2, 3).

(-2, -3) என்ற புள்ளியை எடுத்துக் கொண்டால் புள்ளியின் இரண்டு எண்களுமே குறை எண்கள் என்பதால் இரு அச்சுகளின் குறை எண் கோட்டுப் பகுதியில் எடுத்துக் கொள்வதால் அப்புள்ளி மூன்றாம் கால் பாகத்தில்தானே அமையும்.

(2, -3) ஐ எடுத்துக் கொண்டால் முதல் எண்ணான 2 மிகை எண் (ப்ளஸ் நம்பர்) என்பதால் X அச்சின் மிகை எண் (ப்ளஸ் நம்பர்) கோட்டிலும் இரண்டாம் எண்ணான -3 குறை எண் (மைனஸ் நம்பர்) என்பதால் Y அச்சின் குறை எண் கோட்டுப் பகுதியில் எடுத்துக் கொள்வதால் அது நான்காம் கால் பாகத்தில்தான் அமையும் அல்லவா!

இதெல்லாம் நீங்கள் நன்கு அறிந்து கருத்துகளாகத்தான் இருக்கும்.

இந்தக் கட்டத்தாளின் முக்கிய பயனே, நான் முன்பே சொன்னது போல எண்களுக்கு அது கொடுக்கும் வடிவம்தான்.

எண்களுக்கு எண்கோடு எனும் வடிவம் கொடுப்பது கட்டத்தாள்தானே.

இப்போது நாம் நேர்விகிதத்தில் நாம் பார்த்த கீழ்காணும் அட்டவணையை எடுத்துக் கொள்வோமா?

தொகுதி	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
பகுதி	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40

ஆகா மறுபடியும் நேர் விகிதமா என்றுதானே சொல்கிறீர்கள். கணிதத் தலைப்புகள் ஒவ்வொன்றும் ஒன்றொடொன்று தொடர்பு கொண்டவை இல்லையா?

மேற்காணும் அட்டவணை எதைக் குறிக்கிறது?

பின்னங்களைக் குறிக்கிறது, நேர் விகிதத்தைக் குறிக்கிறது, மடங்குகளைக் குறிக்கிறது, சதுரத்தின் பக்கம் மற்றும் சுற்றளவைக் குறிக்கிறது என்று சொல்லிக் கொண்டு போகலாம். அத்துடன் அது கட்டத்தாளில் குறிப்பதற்கான புள்ளிகளையும் குறிக்கிறது என்றும் சொல்லலாம்.

அப்படியா என்கிறீர்களா? ஆம், அப்படியேத்தான்.

இப்போது தொகுதி என்பதை X ஆகவும் பகுதி என்பதை Y ஆகவும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அட ஆமாம் என்கிறீர்களா?

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40

இப்போது X லிருந்து ஓர் எண்ணையும் Y லிருந்து ஓர் எண்ணையும் எடுத்துக் கொண்டால் நாம் குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள் தயார்.

அதற்கு முன்பு இந்தப் புள்ளிகள் எப்படி அமைகின்றது என்பதை y = 4x எனக் குறித்துக் கொள்ளலாம்தானே? அதாவது y இல் அமையும் எண்கள் எல்லாம் x இன் நான்கு மடங்குகள்தானே? அதனால் நாம் எடுத்துக் கொண்ட சமன்பாடு என்பது சரிதானே?

இப்போது குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகளைப் பார்த்து விடுவோம். அதாவது X லிருந்து ஓர் எண்ணையும் Y லிருந்து ஓர் எண்ணையும் எடுத்துக் கொண்டு புள்ளிகளை உருவாக்குவோம்.

(1, 4)

(2, 8)

(3, 12)

(4, 16)

(5, 20)

(6, 24)

(7, 28)

(8, 32)

(9, 36)

(10, 40)

இந்தப் புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்துப் பாருங்கள். அந்தப் புள்ளிகளை அப்படியே இணைத்துப் பாருங்கள்.

இப்போது நீங்கள் பார்க்கும் படம்தான் அட்டவணையில் நாம் உருவாக்கிய ஒரு நேர்விகிதத்திற்கான வரைபடம். அது மட்டுமா சதுரத்தின் பக்க அளவுக்கும் சுற்றளவுக்குமான தொடர்பைக் காட்டும் வரைபடம். அது மட்டுமா நான்கின் மடங்குகளைக் காட்டும் வரைபடம். அது மட்டுமா y = 4x என்ற சமன்பாட்டிற்கான வரைபடம்.

அது மட்டுமா இது சார்புகளுக்கான வரைபடம் என்பதையும் மேல் வகுப்புகளில் பயிலப் பயிலத் தெரிந்து கொள்வீர்கள்.

எந்த ஒரு இயற்கணித சமன்பாட்டையும் கட்டத்தாளில் இப்படி படமாக வரைந்து விட முடியும் என்பதையும் அறிந்து கொள்வீர்கள்.

கட்டத்தாள் என்பது இருபரிணாமத்தின் அடிப்படைக் கருவி. நீங்கள் முப்பரிமாணத்திலிருந்து n பரிமாணம் வரை புரிந்து கொள்ளவும் இந்த அடிப்படை உதவுவதைப் புரிந்து கொள்வீர்கள்.

மேலும் எதிர்விகிதத்திற்கான ஓர் அட்டவணையையும் எடுத்துக் கொண்டு அதன் புள்ளிகளையும் குறித்துப் பாருங்கள். அதன் வரைபடம் எப்படி அமைகிறது என்பதையும் நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம்.

அடுத்தது என்ன? என்று நீங்கள் கேட்பது புரிகிறது.

நாம் கிட்டதட்ட நிறைவுப் பகுதியை நோக்கி வந்து விட்டோம். அதற்கு முன்பு புள்ளியியலுக்கு அடிப்படையான மையநிலை அளவுகள் பற்றிச் சொல்லி நிறைவு செய்து கொள்ளலாம் என்று நினைக்கிறேன்.

*****