பிதாகரஸ் மும்மைகளை உருவாக்குவது எப்படி?

பிதாகரஸ் மும்மைகளை உருவாக்குவது எப்படி?

a² + b² = c²

என்கிற இச்சமன்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும் எண்களைப் பிதாகரஸின் மூன்றன் தொகுதி என்று சொல்கிறது கணித உலகம். நான் இவற்றைப் பிதாகரஸின் மும்மை என்று சொல்வது சிறப்பாக இருக்கும் என்று கருதுகிறேன். நீங்களும் அப்படியே கருதுவீர்கள் என்று நினைத்தால் நாம் பிதாகரஸின் மும்மை என்றே தொடர்வோம்.

3, 4, 5 என்பது பிதாகரஸின் பிரபலமான மும்மை. இந்த மூன்று எண்களும் a² + b² = c²

என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.

3, 4, 5 மும்மையை 2 ஆல், 3 ஆல், 4 ஆல், 5 ஆல், … என்று பெருக்கி நீங்கள் பல மும்மைகளை உருவாக்க முடியும்.

அதாகப்பட்டது,

6, 8, 10,

9, 12, 15,

12, 16, 20,

15, 20, 25

என மேற்படி முறைப்படி உருவாக்கும் அனைத்தும் பிதாகரஸின் மும்மைகளே.

இதே போல,

5, 12, 13,

7, 24, 25,

20, 21, 29,

8, 15, 17

என்பனவும் பிதாகரஸின் மும்மைகளே. இவற்றிலும் நாம் மேற்படி பெருக்கித் தள்ளும் (விளக்குமாற்றால் அல்ல, மடங்குகளால் பெருக்கும்) முறைகளைப் பிரயோகிக்கலாம்.

நான் நேற்று சொன்னது இப்படி மும்மைகளை உருவாக்கும் முறையைப் பற்றியது அல்ல. அதற்கென ஒரு சூத்திரம் இருந்தால் எப்படி இருக்கும்?

சூத்திரம் உங்களுக்குப் பலவித சாத்தியங்களைக் காட்டும்.

மேலே நாம் சொன்ன முறை என்பது கையால் பொருள் தயாரிக்கும் முறையைப் போன்றது. சூத்திர முறை என்பது இயந்திரத்தால் பொருள் தயாரிக்கும் முறையைப் போன்றது. நீங்கள் பாட்டுக்கு இயந்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கித் தள்ளலாம்.

சூத்திரத்தில் நீங்கள் முடிவில்லா சாத்தியங்களைப் பார்க்க முடியும்.

அதற்கான சூத்திரத்தை எப்படி உருவாக்குவது?

அதற்காக நாம் முற்றொருமைக்குச் செல்வோம்.

நாம் நன்கறிந்த முற்றொருமை (a + b)²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

இச்சமன்பாட்டில் நாம் 2ab ஐத் தூக்கி விட்டால்,

(a + b)² > a² + b²

தானே?

ஆனால்,  a² + b² = c² என்பதால்

(a + b)² > c²

இது என்ன சொல்கிறதென்றால்,

a + b > c

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் சமனின்மைப் பண்பும் இதுதானே. ஆகவே இது சரிதான்.

ஆக c < a + b

இந்தச் சமனின்மையைச் சமன்படுத்தும் ஓர் எண் இல்லாமலா இருக்கும்? இது எண்கள் என்றால் அந்த எண்ணைப் போட்டு விடலாம். இது எல்லாம் மாறிகளில் இருப்பதால் நாமும் மாறியிலேயேதான் விளையாட வேண்டும்.

எந்தப் பந்தில் விளையாடச் சொல்கிறார்களோ அந்தப் பந்தில் விளையாடுவதுதானே முறை. லப்பர் பந்து கிரிக்கெட் என்றால் லப்பர் பந்தில்தான் விளையாட வேண்டும். கிரிக்கெட் பந்து கிரிக்கெட் என்றால் கிரிக்கெட் பந்தில்தானே விளையாட வேண்டும். எனக்கு விருப்பமான பந்தில்தான் விளையாடுவேன் என்று அடம் பிடித்தால் ஆட்டத்திலிருந்து தூக்கி விடுவார்கள் இல்லையா? ஆகவே நாமும் இந்தச் சமனின்மையைச் சமன்படுத்தும் மாறியை n என எடுத்துக் கொண்டு மாறியிலேயே ஆட்டத்தை ஆரம்பிப்போம். 

இப்போது c = a + b – n

என்ன சரிதானா?

இப்போது இரு புறமும் வர்க்கப்படுத்துங்கள்.

c² = (a + b – n)²

c² = a² + b² + n² + 2ab – 2an – 2bn

ஆனால்,

c² = a² + b²

எனவே,

a² + b² = a² + b² + n² + 2ab – 2an – 2bn

n² + 2ab – 2an – 2bn = 0

n² = 2an + 2bn – 2ab

இதன் அர்த்தம் என்ன?

n² = 2(an + bn – ab)

ஆக n² ஓர் இரட்டை எண் என்பதால், n உம் இரட்டைஎண்.

எனவே n ஐ 2m என எடுத்துக் கொண்டால்,

4m² = 4am + 4bm – 2ab

இதிலிருந்து,

ab = 2am + 2bm – 2m²

இதன் அர்த்தம் என்ன?

ab = 2(am + bm – m²) என்பதால்

ab ஓர் இரட்டை எண்.

இதிலிருந்து b ஓர் ஒற்றை எண் என்றால், a ஓர் இரட்டை எண் என்ற முடிவுக்கு வரலாம்.

அப்படியானால்,

a² + b² என்பது ஒற்றை எண் என்ற முடிவுக்கு வரலாம். அதாவதுஒற்றை எண்ணின் வர்க்கத்தையும் இரட்டை எண்ணின் வர்க்கத்தையும் கூட்டினால் கிடைப்பது ஒற்றை எண் என்ற முடிவு.

a² + b² ஒற்றை எண் என்றால், c² ஓர் ஒற்றை எண், ஏனென்றால் a² + b² = c² அல்லவா!

நிலைமை அப்படி என்றால் a, b, c ஆகிய மூன்றும் இரட்டை எண்ணாகவோ அல்லது மூன்றும் ஒற்றை எண்ணாகவோ இருக்க முடியாது. அவற்றுள் இரண்டு ஒற்றை எண்ணாகவும், ஒன்று இரட்டை எண்ணாகவும் இருக்கும் என்ற முடிவுக்கு வரலாம்.

இப்போது b ஐயும், c ஐயும் s, t ஆகிய இரு மாறிகளைக் கொண்டு இப்படி எழுதுவோம்.

b = s –t, c = s + t

இதை நாம் a² + b² = c²

என்கிற பிதாகரஸ் நிபந்தனையில் பிரதியிடுவோம்.

a² + (s – t)² = (s + t)²

இதிலிருந்து நீங்கள்

a² = 4st என்ற முடிவைப் பெறலாம். இது சொல்வதென்ன

st என்பது ஒரு வர்க்க எண் என்பதைத்தானே!

அப்படியானால் அதற்கு u, v என மாறிகளைப் பயன்படுத்தினால்,  s = u², t = v² தானே?

(இதுதான் மாறி மாறி மேல மாறி வந்து மாறி(ரி)யாத்தா விளையாடும் நேரம் போல)

இதிலிருந்து a² = 4u²v²

எனவே a = 2uv

இதுசொல்வதென்ன?

a ஓர் இரட்டை எண்.

ஆக, 2uv, u² – v², u² + v²

என்கிற சூத்திரத்தைக் கொண்டு நீங்கள் பிதாகரஸ் மும்மைகளை உருவாக்கிப் பார்க்கலாம். இதில் u உம் v உம் சார்பகா எண்கள் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ளுங்கள்.

இனி மேற்படி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பிதாகரஸ் மும்மைகளை உருவாக்கிப் புகுந்து விளையாடுங்கள்.

உதாரணத்துக்கு u = 2, v = 1 என எடுத்துக் கொண்டு 2uv, u² – v², u² + v² என்ற மும்மையில் விளையாடினால் 4, 3, 5 அதாவது 3, 4, 5 என்கிற பிதாகரஸின் பிரபலமான மும்மையை அடைந்து விடுவீர்கள்.

நீங்கள் உருவாக்கிய மும்மைகளைக் கருத்துப் பெட்டியில் (Comment Box) போடுங்களேன்.

அடுத்து என்ன?

இதற்கு அடுத்து எதைப் பார்க்கலாம். யோசித்து வையுங்களேன். நாளைப் பார்ப்போம்!

*****