அறுகோணத்தின் பரப்பு காண்போமா?

அறுகோணத்தின் பரப்பு காண்போமா?

பிதாகரஸ் எப்படி πஇன் மதிப்பை நோக்கி முன்னேறினார் என்பதற்கு, நாம் ஓரலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். அவர் காலத்தில் வட்டத்தின் பரப்பளவிற்கான சூத்திரம் அறியப்படவில்லை.

அதற்காக விட்டு விட முடியுமா?

அதனால், அவர் படிப்படியாக முன்னேறினார்.

முதலில் ஓரலகு ஆரமுள்ள வட்டத்திற்குள் ஓர் அறுகோணத்தைப் (Hexagon) பொருத்தி அதன் பரப்பைக் கண்டறிந்தார்.

அறுகோணத்திற்கு அதன் மையம் வழியாக மூலைவிட்டங்களை வரைந்தார். இப்போது அந்த அறுகோணத்தை மூலைவிட்டங்கள் முக்கோணங்களாகப் பிரித்தன.

மொத்தம் உங்களுக்கு ஆறு முக்கோணங்கள் கிடைக்கிறதா?

இப்போது இதில் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பைக் கண்டுபிடித்து, அதை ஆறால் பெருக்கினால் அதுதானே அறுகோணத்தின் பரப்பு.

இதை நீங்கள் கீழே உள்ள படத்தில் காணலாம்.

நீங்கள் காணும் முக்கோணம் ஒவ்வொன்றும் சமபக்க முக்கோணம். ஓரலகு வட்டத்திற்குள் இருப்பதால், முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் ஓரலகு உடையது.

இங்கே முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினார் ஆர்க்கிமிடிஸ். முக்கோணத்தின் பரப்பு என்பது ½ × அடிப்பக்கம் ×  உயரம்தானே?

அடிப்பக்கம் 1 அலகு என்பது புரிகிறது.

உயரம் எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது?

இந்த இடத்தில்தான் அவர் அவருக்கு முன்னோடியான பிதாகரஸ்ஸின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திக் கொண்டார்.

பிதாகரஸ் தேற்றம் மட்டும் இல்லையென்றால் பல கணக்குகளில் மேற்கொண்டு எதுவும் செய்ய முடியாது. அந்த அளவுக்குக் கணிதத்தில் முக்கியமான தேற்றம் பிதாகரஸ் தேற்றம்.

ஓரலகு உடைய சமபக்க முக்கோணம் என்பதால் முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கத்திலிருந்து அதன் உச்சிக்கு ஒரு செங்குத்துக் கோட்டை வரைந்தார் ஆர்க்கிமிடிஸ்.

இப்போது நமக்கு செங்கோண முக்கோணம் கிடைத்து விடுகிறது. பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி இப்போது உண்டாகியுள்ள செங்கோண முக்கோணத்திலிருந்து,

(இதை நீங்கள் கீழே உள்ள படத்தில் காணுங்கள்)

உயரம்² = கர்ணம்² – (அடிப்பக்கம் /2) ² தானே?

உயரம்² = 1² – (½)²

உயரம்² = (¾)²

உயரம் = √3/2

இப்போது முக்கோணத்தின் பரப்பு = ½ × 1 × √3/2 = √3/4

இதிலிருந்து அறுகோணத்தின் பரப்பு = 6 × √3/4 = 3 √3/2

இதன் மதிப்பு என்று பார்த்தால் 2.598.

இது πக்கு அருகில் வரவில்லை. ஏனென்றால் πஇன் மதிப்பு 3.1415.

இதற்குக் காரணம் இருக்கிறது.

ஓரலகு வட்டத்திற்குள் அமையும் அறுகோணம் வட்டத்தை ஒட்டி அமையவில்லை.

இரண்டிற்குமான இடைவெளி அதிகம் இருக்கிறதல்லவா!

இந்த இடைவெளியின் காரணமாகத்தான் அறுகோணத்தின் பரப்பு πஇன் மதிப்புக்கு அருகே வரவில்லை. அப்படியானால் நாம் பலகோணத்தின் பக்கங்களை அதிகப்படுத்தினால் வட்டத்துக்கும் பலகோணத்துக்கும் இடையிலான இடைவெளி குறைய வாய்ப்பு இருக்கிறதல்லவா!

அதனால் நாம் என்ன செய்யப் போகிறோம் என்றால், அறுகோணத்துககுப் பதிலாக ஓரலகு ஆரமுள்ள வட்டத்துக்குள் 12 பக்கங்களைக் கொண்ட பலகோணத்தைப் (Dodecagon) பொருத்தி, அதன் பரப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

அதை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது?

நாளை பார்ப்போம்!

*****