கணிதக் கோட்பாட்டியலின் அழகியலாளர்!

கணிதக் கோட்பாட்டியலின் அழகியலாளர்!

யூக்ளிட் எழுதிய Elementsக்கு இருக்கும் சிறப்பே அது பைபிளுக்கு அடுத்த்தபடியாக மேற்குலகில் அதிகம் மொழி பெயர்க்கப்பட்ட நூலாகும் என்பதுதான்.

இன்றைய பள்ளிக்கல்வியை முடிக்கும் ஒருவருக்கு புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகள் குறித்த யூக்ளிட்டின் வடிவியல் கருத்துகள் சாதாரணமாகத் தெரியலாம். யூக்ளிட்டின் காலத்தில் அவர் இணையற்ற கணித ஆசிரியராக விளங்கினார். வடிவியலை விதிகளின் வழியாகக் கோட்பாட்டு ரீதியாகச் சரியாக வரையறுத்ததில் யூக்ளிட்டின் கணித கோட்பாட்டு அணுகுமுறை வியக்கத்தக்கது.

சான்றுக்கு ஒன்று சொல்ல வேண்டுமானால், செங்கோண முக்கோணங்கள் சர்வசமம் என்பது யூக்ளிட்டின் கணிதக் கோட்பாடுகளில் காணப்படும் விதிகளுள் ஒன்று. அதற்கு முன்பாக அவர் புள்ளிகள், கோடுகள், வட்டம், இணைகோடுகள் குறித்த விதிகளைக் கூறி ஐந்தாவதாக இவ்விதியைக் கூறுகிறார்.

செங்கோண சர்வசமம் பற்றி நாம் பேசியதால், முக்கோணங்களின் சர்வசமத் தன்மை பற்றி அவர் கூறுவதையும் நாம் காண வேண்டும்.

அதென்ன சர்வசமம்? அதை நாம் முதலில் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் அல்லவா!

ஆட்டைப் போலத்தான் ஆட்டுக்குட்டி இருக்கும். இது சர்வசமமில்லை. வடிவொத்த தன்மை.

ஆனால் ஒரு ஐநூறு ரூபாய் நோட்டைப் போலத்தான் இன்னொரு ஐநூறு ரூபாய் நோட்டு இருக்கும். வடிவத்திலும் அளவுகளிலும் இரண்டும் ஒன்றோடு ஒன்று பொருந்திப் போகும். இரண்டின் நீளம், அகலம் உட்பட அனைத்திலும் மாறுபாடு இருக்கவே இருக்காது. இதுதான் சர்வசமம் என்பது.

இத்தன்மையை இரண்டு முக்கோணங்களை ஒப்பிடுவதிலும் நாம் பயன்படுத்தலாம். எப்படி?

இரண்டு முக்கோணங்கள் சர்வசமங்கள் என்றால் அதற்கான நிபந்தனைகளை அவர் வரையறுக்கிறார்.

முதல் வரையறை : ப – ப – ப நிபந்தனை

இவ்வகையில் ஒப்பிடும் இரு முக்கோணங்களின் ஒவ்வொரு பக்கமும் சமமாக இருக்க வேண்டும். அப்படி இருந்தால் அவ்விரண்டும் சர்வசமம்.

இரண்டாம் வரையறை : கோ – ப – கோ நிபந்தனை

இவ்வகையில் ஒரு பக்கத்தின் அடுத்தடுத்த கோணங்களும் அந்தப் பக்கமும் இரண்டு முக்கோணங்களிலும் சமமாக இருக்கும். அப்படி இருந்தால் அவ்விரண்டும் சர்வசமம்.

மூன்றாம் வரையறை : ப – கோ – ப நிபந்தனை

இவ்வகையில் ஒரு கோணத்தின் அடுத்தடுத்த இரு பக்கங்களும் அத்துடன் அந்தக் கோணமும் சமமாக இருக்க வேண்டும். அப்படி இருந்தால் அவ்விரண்டும் சர்வசமம்.

இதுவே செங்கோண முக்கோணம் என்றால், அதற்கான வரையறை செ – க – ப எனும் நிபந்தனையாகும். அதன்படி இரு முக்கோணங்களின் செங்கோணம், கர்ணம், மற்றும் ஒரு பக்கம் சமமாக இருக்க வேண்டும். செங்கோணங்கள் சர்வசமமானவை என்ற யூக்ளிட்டின் முடிவையும் இவ்விடத்தில் ஒப்பு நோக்க வேண்டும்.

இப்படிக் கோட்பாட்டு ரீதியாகத்தான் அவர் வடிவியலை வளர்த்துக் கொண்டு செல்கிறார்.

இதைக் கொண்டு யூக்ளிட் வடிவியலை மட்டும் தனது நூலில் கூறுகிறார் என்று கூறி விட முடியாது. அவர் கணிதத்தின் அனைத்துப் பிரிவுகளிலும் கவனம் செலுத்துகிறார். எண் கோட்பாடு, முப்பரிமாண வடிவியல், கணித நிரல்முறை (அல்காரிதம்), ஒளியியல், வானியல் ஆகியவை குறித்தும் அவர் தன் நூலில் பேசுகிறார்.

யூக்ளிட்டின் கணித நிரல்முறையே (அல்காரிதம்) இன்று கணினி மென்பொருள் உருவாக்கத்திற்குப் பயன்படும் நிரல்முறையில் (கம்ப்யூட்டர் அல்காரிதம்) பயன்படுத்தப்படுகிறது.

நவீன வடிவ கணிதம் வளர்ச்சி பெற்ற 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரையில் யூக்ளிட்டின் வடிவியலே அதுவரை கணித உலகில் ஆதிக்கம் செலுத்தியது. இப்போது அதன் கணித அணுகுமுறைகளுக்காகவும், கோட்பாட்டு ரீதியிலான அது காட்டும் வளர்ச்சி முறைகளுக்காகவும் யூக்ளிட் தனது நூல்கள் மூலமாக எப்போதும் நினைவு கூரப்படுகிறார்.  யூக்ளிட்டின் நூல்களுக்கு ஆயிரத்திற்கு மேற்பட்ட பதிப்புகள் இருக்கின்றன என்பதே அதற்குத் தக்க சான்றாகும்.

மேலும் அவர் கூம்புகள், இசை என்று பல்வேறு துறைகள் பற்றிய எழுதிய பல நூல்கள் கிடைக்கவில்லை என்பது ஒரு வரலாற்றும் சோகம்தான்.

யூக்ளிட்டின் கணிதக் கோட்பாட்டு அணுகுமுறையையும், நிரூபணத்தில் கறாராக இருந்து அவர் நிகழ்த்தும் அற்புதத்தையும் நாளை காண்போம். அதற்கு முன்பு சர்வசம முக்கோணங்களுக்கான நிபந்தனைகளை நன்றாக மனதில் பதிய வைத்துக் கொள்ளுங்கள். நாளை அதை வைத்துதான் நாம் யூக்ளிட்டியத்தில் விளையாடப் போகிறோம்.

*****