கோட்பாட்டு வடிவியலின் பாட்ஷா யூக்ளிட்!

கோட்பாட்டு வடிவியலின் பாட்ஷா யூக்ளிட்!

முக்கோணம் ABC இரு சமபக்க முக்கோணம் என்றால் A லிருந்து BCயை இருசமக் கூறிடுமாறு வரையப்படும் ADயானது BCக்குச் செங்குத்து என நிறுவ வேண்டும்.

நீங்கள் நிரூபித்து இருப்பீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

எப்படி நிரூபித்திருப்பீர்கள் என்பதற்காகத் தொடர்கிறேன்.

ΔABD உம் ΔACD உம் சர்வசமம் என்பதை நாம் நேற்றே நிரூபித்து விட்டோம்.

அதாவது, ΔABD ≡ ΔACD

இனி அதை நாம் உச்சநீதிமன்றத்தில் சென்று வாதாடினாலும் தீர்ப்பு அதுதான். அதை மாற்ற முடியாது.

ஆகவே, சர்சம முக்கோணங்களான ΔABD மற்றும் ΔACD இல் ∠ ADB = ∠ADC.

சர்வசம முக்கோணங்களுக்கான பண்புகளின்படி இது சரி.

ஆனால் இவ்விரு கோணங்களும் எதன் மேல் இருக்கின்றன?

BDC என்ற நேர்க்கோட்டில் அல்லவா!

நேர்க்கோட்டின் கோணம் 180⁰.

இதன் மேல் இருக்கும் இரண்டு கோணங்களுமான ∠ ADB மற்றும் ∠ADC சமம் என்றால் என்ன அர்த்தம்?

மொத்த கோணம் 180⁰, அதில் இருப்பது இரு கோணங்கள், இரண்டும் சமம் என்றால், ஒவ்வொரு கோணத்தின் மதிப்பும் 90⁰ என்றுதானே?

கோண மதிப்பு 90⁰ என்றால் அது செங்கோணம்தானே?

அப்படியானால் AD ஆனது BCக்குச் செங்குத்துதானே?

எப்படி நிரூபித்து விட்டோம் பார்த்தீர்களா? இதுதான் யூக்ளிட்டின் கோட்பாட்டு ரீதியிலான அணுகுமுறையில் இருக்கும் வசதியாகும்.

அடுத்து என்ன?

இன்னும் சிலவற்றை நிரூபித்துப் பார்ப்போமே! அப்போதுதான் யூக்ளிட்டின் வடிவியல் அணுகுமுறையின் கோட்பாட்டு சிறப்பம்சத்தை நாம் மேலும் நன்றாகப் புரிந்து கொள்ள முடியும்.

இணைகோட்டை ஒரு நேர்க்கோடு வெட்டினால் ஒத்தக் கோணங்கள், ஒன்று விட்ட கோணங்கள் சமம் என்பது நாம் அறிந்தது.

ஒத்தக் கோணங்கள் ‘F’ வடிவத்தையும், ஒன்று விட்ட கோணங்கள் ‘Z’ வடிவத்தையும் ஏற்படுத்தும் என்பதும் நீங்கள் பள்ளிப் பாடங்களில் இருந்து அறிந்ததே.

இதை வைத்து முக்கோணங்களின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180⁰ என நிரூபித்து விட முடியும்.

எப்படி என்கிறீர்களா?

முக்கோணத்தின் உச்சியில் அதன் அடிப்பக்கத்துக்கு இணையான இணைகோடு ஒன்றைப் போட்டால், அக்கோட்டைப் பொருத்து அங்கு உருவாகும் மூன்று கோணங்களின் கூடுதலும் 180⁰தானே? ஏனென்றால் ஒரு நேர்க்கோட்டின் கோணம் 180⁰தானே! படத்தில் ரோஸ், மஞ்சள், பச்சை நிறத்தில் கோணங்களைக் காட்டியிருக்கிறேன்.

அதாவது,

மேலே உள்ள

ரோஸ் கோணம் (மேல்) + மஞ்சள் கோணம் + பச்சைக் கோணம் (மேல்) = 180⁰

இப்போது மேல் கீழ் உள்ள ரோஸ் மற்றும் பச்சைக் கோணங்கள் ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள் என்ற அடிப்படையில் மேல் உள்ள ரோஸ் கோணமும், கீழ் உள்ள ரோஸ் கோணமும் சமம். அதே போல மேல் உள்ள பச்சைக் கோணமும் கீழ் உள்ள பச்சைக் கோணமும் சமம்.

அப்படியானால், மேல் உள்ள ரோஸ்  கோணத்திற்குக் கீழ் உள்ள ரோஸ் கோணத்தைப் பதிலிட்டுக் கொள்ளலாம். மேல் உள்ள பச்சைக் கோணத்திற்குக் கீழ் உள்ள பச்சைக் கோணத்தைப் பதிலிட்டுக் கொள்ளலாம்.

அப்படிப் பதிலிடும் போது,

ரோஸ் கோணம் (மேல்) + மஞ்சள் கோணம் + பச்சைக் கோணம் (மேல்) = 180⁰

என்பது,

ரோஸ் கோணம் (கீழ்) + மஞ்சள் கோணம் + பச்சைக் கோணம் (கீழ்) = 180⁰

என அமையும். இவை மூன்றும் முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள்.

ஆக, முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180⁰ என வந்து விடுகிறது அல்லவா.

இந்தக் கோட்பாட்டு ரீதியிலான அணுகுமுறைதான் யூக்ளிட் முறையின் சிறப்பு.

இதே போல முக்கோணத்தின் வெளிக்கோணத்தின் கூடுதல் உள்ளெதிர்க் கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்பதையும் நிரூபித்து விடலாம்.

முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180⁰.

இதைத்தான் நாம் மேலே நிரூபித்தோம்.

அதாவது,

ரோஸ் கோணம் + மஞ்சள் கோணம் + பச்சைக் கோணம் = 180⁰

அத்துடன் BCD கோட்டில் C இல் உருவாகும் இரு கோணங்களின் கூடுதலும் 180⁰.

அதாவது,

பச்சைக் கோணம் + பழுப்புக் கோணம் = 180⁰

இப்போது மேற்படி சமன்பாடுகள் இரண்டையும் சமப்படுத்தினால், ஏனென்றால் இவ்விரு சமன்பாடுகளின் கோணங்களின் கூடுதலும் 180⁰ தானே?

அப்படி சமன்செய்யும் போது,

ரோஸ் கோணம் + மஞ்சள் கோணம் + பச்சைக் கோணம் = பச்சைக் கோணம் + பழுப்புக் கோணம் என அமைகிறதா?

இரு பக்கமும் பச்சைக் கோணம் இருப்பதால் அதை நீக்கி விட்டால்,

ரோஸ் கோணம் + மஞ்சள் கோணம் = பழுப்புக் கோணம் எனக் கிடைக்கிறது.

ரோஸ் மற்றும் மஞ்சள் இரண்டும் வெளிக்கோணமான பழுப்புக் கோணத்திற்கு உள்ளெதிர்க் கோணங்கள் அல்லவா!

எனவே,

பழுப்புக் கோணம் = ரோஸ் கோணம் + மஞ்சள் கோணம்.

அதாவது,

முக்கோணத்தின் வெளிக்கோணம் உள்ளெதிர்க் கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்று வந்து விடுகிறதா?

எப்படிப் புகுந்து புறப்பட முடிகிறது பார்த்தீர்களா? இதெல்லாம் யூக்ளிட் போட்டுக் கொடுத்த பாதையினால் சாத்தியமாகிறது.

போதும் யூக்ளிட் புராணம் என்கிறீர்களா?

அடுத்து நாம் யாரைப் பார்க்கப் போகிறோம்?

நாளை வரை காத்திருங்கள்.

*****