விகிதமுறா எண்களுக்குப் பாதை அமைத்த பிதாகரஸ் தேற்றம்!

விகிதமுறா எண்களுக்குப் பாதை அமைத்த பிதாகரஸ் தேற்றம்!

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கமும், உயரமும் 1 அலகு என வைத்துக் கொண்டால் எப்படி இருக்கும்?

நாம் இங்கு சொல்வது இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம். சமபக்கங்கள் இரண்டும் 1 அலகு உடையன.

அப்படியானால் கர்ணத்தின் வர்க்கம் என்பது c² = a² + b² என்ற சமன்பாட்டின்படி,

c²         = 1² + 1²

            = 1 + 1

            = 2

இப்போது c = √2

இது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்க முடியாது.

ஒருவேளை விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால், இதை நாம் மிகச் சுருங்கிய விகித வடிவில் எழுத முடியும். அதாவது மேற்கொண்டு அடித்துச் சுருக்க முடியாத வடிவில் எழுத முடியும். அப்படி எழுதும் போது தொகுதி, பகுதியாக அமையும் இரு எண்களுக்கும் பொது காரணி இருக்க முடியாது.

நிலைமை என்னவென்றுதான் பார்த்து விடுவோமே!

c =  விகிதமுறு எண் எனில் c = p/q என எழுத முடியும். ஏனென்றால் அதுதானே விகிதிமுறு எண்களின் வடிவம்.

நமது மேற்படி வாதங்களின் படி pஐயும், qஐயும் மேற்கொண்டு சுருக்க முடியாது. அதாவது அவ்விரு எண்களுக்கும் பொதுக்காரணி என்பது இருக்க முடியாது.

c = p/q எனில்,

p/q =

இச்சமன்பாட்டை வர்க்கப்படுத்தினால்,

p² / q² = 2 என வருவதால்

p² = 2q²

அப்படியானால் p² ஓர் இரட்டை எண். எனவே p உம் இரட்டை எண்.

p ஓர் இரட்டை எண் என்றால் அதை இரண்டின் மடங்காக எழுதலாம்தானே.

நாம் p = 2m என எழுதிக் கொள்வோம்.

அப்படியானால் p² = 2q² என்பது 4m² = 2q² என ஆகி q² = 2m² என ஆகும் அல்லவா!

அப்படி ஆனால் q² உம் கூடவே q உம் இரட்டை எண் ஆகி விடும்.

ஆக p உம் இரட்டை எண், q உம் இரட்டை எண் என்றால், இரண்டும் இரண்டால் அடிபடும். அதாவது இரண்டையும் இரண்டால் மேலும் சுருக்க இயலும் என்றாகி விடுகிறதா?

ஆனால், நாம் p ஐயும் q ஐயும் அப்படி எடுக்கவில்லையே.

இரண்டையும் மேற்கொண்டு எந்தப் பொதுக்காரணியாலும் சுருக்க முடியாது என்றல்லவா எடுத்துள்ளோம்.

ஆகவே நம்முடைய நிலைப்பாடு தவறு.

நம்முடைய நிலைப்பாடு என்ன?

c = √2  விகிதமுறு எண் என்பதுதானே?

அது தவறு.

ஆகவே அது விகிதமுறா எண் என்பதே சரியானது.

இப்படியாக,

ஒரு கருதுகோளை எடுத்துக் கொண்டு முரண்பாடான முடிவை அடைந்தால் நாம் எடுத்துக் கொண்ட கருதுகோள் தவறு. எடுத்துக் கொண்ட கருதுகோளுக்கு மாறான கருதுகோள்தான் சரி.

ஆகவேதான் விகிதமுறு எண் என எடுத்துக் கொண்ட கருதுகோள் தவறு. அதை விகிதமுறா எண் எடுத்துக் கொள்வதே சரி என்ற முடிவிற்கு வருகிறோம்.

இது கணிதத்தில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் முரண்பாட்டு முறையிலான நிரூபணம்.

இதே முறையில் √2, √3, √5, √7, … என்பனவற்றைக் விகிதமுறா எண்கள் என நிரூபிக்க முடியும். அதாவது, பகா எண்களின் வர்க்கமூலங்கள் அனைத்தையும் விகிதமுறா எண்கள் என நிரூபிக்க முடியும்.

இதை 2300 ஆண்டுகளுக்கு முன்பாகவே யூக்ளிட் (கி.மு. 325 – கி.மு. 265) தன்னுடைய Elements நூலில் நிரூபித்திருக்கிறார் என்பதுதான் விசேசம்.

கூடவே, பிதாகரஸ் தேற்றம் எப்படி விகிதமுறா எண்களைக் கண்டுபிடிக்க உதவியிருக்கிறது என்பதும் அடுத்த விசேஷம்.

ஆகவே பிதாகரஸ் தேற்றத்தைக் கணித உலகில் சாதாரணமாகக் கருத முடியாது.

பிதாகரஸ் தேற்றத்தைக் கட்டமைக்கும் எண்களை பிதாகரஸ் எண்கள் என்பர்.

இந்த எண்களை உருவாக்க முடியுமா?

ஏன் முடியாது?

அதை நாளை பார்ப்போம்.

*****