இலவசம் ஒரு நாள் கொல்லும்! – உழைப்பை உணர்த்தும் உன்னத கதை!

இலவசம் ஒரு நாள் கொல்லும்! –

உழைப்பை உணர்த்தும் உன்னத கதை!

உழைத்துப் பெறுவதற்கே மதிப்பு இருக்கும்.

உன்னதமான ஒருமதிப்பு இருக்கும்.

இலவசமாகப் பெறுவதற்கு என்ன மதிப்பு இருக்கும்?

உழைப்பு உங்களை எந்நாளும் வாழ வைக்கும்

இலவசம் உங்களை வாழ வைக்காது. ஒரு நாள் உங்களைக் கொல்லும்.

ஆம்!

புகைப் பிடித்தல், மது அருந்துதல் மட்டும் உயிரைக் கொல்லும் என்று நினைக்காதீர்கள். இலவசமும் கொல்லும்.

இதை விளக்கும்படியான கதை ஒன்றைக் காண்போமா?

தேனீக்கள் சுறுசுறுப்பானவை. மலருக்கு மலர் தேடிச் சென்று தேனைச் சேகரிப்பவை. கடும் உழைப்பில் தேன் கூட்டை உருவாக்குபவை. இதெல்லாம் உங்களுக்குத் தெரிந்ததுதானே?

இந்தச் சுறுசுறுப்பான தேனீக்களைப் பார்த்து, இப்படி ஏன் கஷ்டப்பட்டு உழைக்க வேண்டும் என்று நினைத்தன ஈக்கள். உழைப்பில்லாமல் எப்படி வாழலாம் என்று யோசித்தன.

இந்த உலகில் எல்லாவற்றுக்கும் ஒரு வாய்ப்பு கிடைக்கும்தானே. அந்த ஈக்களுக்கும் ஒரு வாய்ப்பு கிடைத்தது.

அந்த ஈக்கள் ஒரு தேன் பாட்டிலைப் பார்த்தன. அந்தத் தேன் பாட்டில் மட்டும் சாய்ந்தால் அதிலிருந்து வழியும் தேனை எந்தக் கஷ்டமில்லாமல் உண்ணலாம் என நினைத்தன.

அவற்றின் நல்ல நேரம், அந்த ஈக்கள் நினைத்தபடியே தேன் பாட்டில் கவிழ்ந்தது.

ஈக்கள் சந்தோசத்துடன் தேனை பருகின, உண்டன, ஆனந்த கூத்தாடின. வயிறு கொள்ளும் மட்டும் இன்னும் இன்னும் என்று ஆசை ஆசையாக உண்டன.

அதற்கு மேல் உண்ண முடியாது எனும் நிலை வந்த போது அங்கிருந்து பறந்து செல்ல முயன்றன.

ஆனால், அவற்றால் பறக்க முடியவில்லை. அவற்றின் உடல் எங்கும் தேன் ஒட்டிக் கொண்டிருந்தது. அத்துடன் இறக்கைகளிலும் ஒட்டிக் கொண்டிருந்தது. அந்தத் தேனை விட்டு நகர முடியாமல் அதில் மாட்டியே இறந்து போயின அத்தனை ஈக்களும்.

உழைப்பில்லாமல் எதையும் பெற முயன்றால் அந்த ஈக்களின் நிலைதான் யாராக இருந்தாலும் ஏற்படும். ஈயாக இருந்தாலும் அல்லது அது நீயாக இருந்தாலும் அதுதான் ஏற்படும்.

இதே போலத்தான் உழைப்பில்லாமல் இலவசங்கள் மூலமாகவே வாழ நினைத்தால் அந்த ஈக்களைப் போல முடிவில் இலவசங்களில் மாட்டிக் கொண்டு அதனாலேயே வாழ்க்கையை இழக்க வேண்டியதாகி விடும்.

இப்போது புரிகிறதா? இலவசம் ஒரு நாள் கொல்லும். உழைப்பே எந்நாளும் வெல்லும்.

இந்தக் கதை உங்களுக்குப் பிடித்திருக்கும் என்று நம்புகிறேன்.

இது போன்ற பயனுள்ள கதைகளுக்குத் தொடர்ந்து இணைந்திருங்கள்.

நன்றி!

வணக்கம்!

*****

பிதாகரஸ் மும்மைகளை உருவாக்குவது எப்படி?

பிதாகரஸ் மும்மைகளை உருவாக்குவது எப்படி?

a² + b² = c²

என்கிற இச்சமன்பாட்டைப் பூர்த்தி செய்யும் எண்களைப் பிதாகரஸின் மூன்றன் தொகுதி என்று சொல்கிறது கணித உலகம். நான் இவற்றைப் பிதாகரஸின் மும்மை என்று சொல்வது சிறப்பாக இருக்கும் என்று கருதுகிறேன். நீங்களும் அப்படியே கருதுவீர்கள் என்று நினைத்தால் நாம் பிதாகரஸின் மும்மை என்றே தொடர்வோம்.

3, 4, 5 என்பது பிதாகரஸின் பிரபலமான மும்மை. இந்த மூன்று எண்களும் a² + b² = c²

என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.

3, 4, 5 மும்மையை 2 ஆல், 3 ஆல், 4 ஆல், 5 ஆல், … என்று பெருக்கி நீங்கள் பல மும்மைகளை உருவாக்க முடியும்.

அதாகப்பட்டது,

6, 8, 10,

9, 12, 15,

12, 16, 20,

15, 20, 25

என மேற்படி முறைப்படி உருவாக்கும் அனைத்தும் பிதாகரஸின் மும்மைகளே.

இதே போல,

5, 12, 13,

7, 24, 25,

20, 21, 29,

8, 15, 17

என்பனவும் பிதாகரஸின் மும்மைகளே. இவற்றிலும் நாம் மேற்படி பெருக்கித் தள்ளும் (விளக்குமாற்றால் அல்ல, மடங்குகளால் பெருக்கும்) முறைகளைப் பிரயோகிக்கலாம்.

நான் நேற்று சொன்னது இப்படி மும்மைகளை உருவாக்கும் முறையைப் பற்றியது அல்ல. அதற்கென ஒரு சூத்திரம் இருந்தால் எப்படி இருக்கும்?

சூத்திரம் உங்களுக்குப் பலவித சாத்தியங்களைக் காட்டும்.

மேலே நாம் சொன்ன முறை என்பது கையால் பொருள் தயாரிக்கும் முறையைப் போன்றது. சூத்திர முறை என்பது இயந்திரத்தால் பொருள் தயாரிக்கும் முறையைப் போன்றது. நீங்கள் பாட்டுக்கு இயந்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கித் தள்ளலாம்.

சூத்திரத்தில் நீங்கள் முடிவில்லா சாத்தியங்களைப் பார்க்க முடியும்.

அதற்கான சூத்திரத்தை எப்படி உருவாக்குவது?

அதற்காக நாம் முற்றொருமைக்குச் செல்வோம்.

நாம் நன்கறிந்த முற்றொருமை (a + b)²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

இச்சமன்பாட்டில் நாம் 2ab ஐத் தூக்கி விட்டால்,

(a + b)² > a² + b²

தானே?

ஆனால்,  a² + b² = c² என்பதால்

(a + b)² > c²

இது என்ன சொல்கிறதென்றால்,

a + b > c

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் சமனின்மைப் பண்பும் இதுதானே. ஆகவே இது சரிதான்.

ஆக c < a + b

இந்தச் சமனின்மையைச் சமன்படுத்தும் ஓர் எண் இல்லாமலா இருக்கும்? இது எண்கள் என்றால் அந்த எண்ணைப் போட்டு விடலாம். இது எல்லாம் மாறிகளில் இருப்பதால் நாமும் மாறியிலேயேதான் விளையாட வேண்டும்.

எந்தப் பந்தில் விளையாடச் சொல்கிறார்களோ அந்தப் பந்தில் விளையாடுவதுதானே முறை. லப்பர் பந்து கிரிக்கெட் என்றால் லப்பர் பந்தில்தான் விளையாட வேண்டும். கிரிக்கெட் பந்து கிரிக்கெட் என்றால் கிரிக்கெட் பந்தில்தானே விளையாட வேண்டும். எனக்கு விருப்பமான பந்தில்தான் விளையாடுவேன் என்று அடம் பிடித்தால் ஆட்டத்திலிருந்து தூக்கி விடுவார்கள் இல்லையா? ஆகவே நாமும் இந்தச் சமனின்மையைச் சமன்படுத்தும் மாறியை n என எடுத்துக் கொண்டு மாறியிலேயே ஆட்டத்தை ஆரம்பிப்போம். 

இப்போது c = a + b – n

என்ன சரிதானா?

இப்போது இரு புறமும் வர்க்கப்படுத்துங்கள்.

c² = (a + b – n)²

c² = a² + b² + n² + 2ab – 2an – 2bn

ஆனால்,

c² = a² + b²

எனவே,

a² + b² = a² + b² + n² + 2ab – 2an – 2bn

n² + 2ab – 2an – 2bn = 0

n² = 2an + 2bn – 2ab

இதன் அர்த்தம் என்ன?

n² = 2(an + bn – ab)

ஆக n² ஓர் இரட்டை எண் என்பதால், n உம் இரட்டைஎண்.

எனவே n ஐ 2m என எடுத்துக் கொண்டால்,

4m² = 4am + 4bm – 2ab

இதிலிருந்து,

ab = 2am + 2bm – 2m²

இதன் அர்த்தம் என்ன?

ab = 2(am + bm – m²) என்பதால்

ab ஓர் இரட்டை எண்.

இதிலிருந்து b ஓர் ஒற்றை எண் என்றால், a ஓர் இரட்டை எண் என்ற முடிவுக்கு வரலாம்.

அப்படியானால்,

a² + b² என்பது ஒற்றை எண் என்ற முடிவுக்கு வரலாம். அதாவதுஒற்றை எண்ணின் வர்க்கத்தையும் இரட்டை எண்ணின் வர்க்கத்தையும் கூட்டினால் கிடைப்பது ஒற்றை எண் என்ற முடிவு.

a² + b² ஒற்றை எண் என்றால், c² ஓர் ஒற்றை எண், ஏனென்றால் a² + b² = c² அல்லவா!

நிலைமை அப்படி என்றால் a, b, c ஆகிய மூன்றும் இரட்டை எண்ணாகவோ அல்லது மூன்றும் ஒற்றை எண்ணாகவோ இருக்க முடியாது. அவற்றுள் இரண்டு ஒற்றை எண்ணாகவும், ஒன்று இரட்டை எண்ணாகவும் இருக்கும் என்ற முடிவுக்கு வரலாம்.

இப்போது b ஐயும், c ஐயும் s, t ஆகிய இரு மாறிகளைக் கொண்டு இப்படி எழுதுவோம்.

b = s –t, c = s + t

இதை நாம் a² + b² = c²

என்கிற பிதாகரஸ் நிபந்தனையில் பிரதியிடுவோம்.

a² + (s – t)² = (s + t)²

இதிலிருந்து நீங்கள்

a² = 4st என்ற முடிவைப் பெறலாம். இது சொல்வதென்ன

st என்பது ஒரு வர்க்க எண் என்பதைத்தானே!

அப்படியானால் அதற்கு u, v என மாறிகளைப் பயன்படுத்தினால்,  s = u², t = v² தானே?

(இதுதான் மாறி மாறி மேல மாறி வந்து மாறி(ரி)யாத்தா விளையாடும் நேரம் போல)

இதிலிருந்து a² = 4u²v²

எனவே a = 2uv

இதுசொல்வதென்ன?

a ஓர் இரட்டை எண்.

ஆக, 2uv, u² – v², u² + v²

என்கிற சூத்திரத்தைக் கொண்டு நீங்கள் பிதாகரஸ் மும்மைகளை உருவாக்கிப் பார்க்கலாம். இதில் u உம் v உம் சார்பகா எண்கள் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ளுங்கள்.

இனி மேற்படி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பிதாகரஸ் மும்மைகளை உருவாக்கிப் புகுந்து விளையாடுங்கள்.

உதாரணத்துக்கு u = 2, v = 1 என எடுத்துக் கொண்டு 2uv, u2 – v2, u2 + v2 என்ற மும்மையில் விளையாடினால் 4, 3, 5 அதாவது 3, 4, 5 என்கிற பிதாகரஸின் பிரபலமான மும்மையை அடைந்து விடுவீர்கள்.

நீங்கள் உருவாக்கிய மும்மைகளைக் கருத்துப் பெட்டியில் (Comment Box) போடுங்களேன்.

அடுத்து என்ன?

இதற்கு அடுத்து எதைப் பார்க்கலாம். யோசித்து வையுங்களேன். நாளைப் பார்ப்போம்!

*****

எப்படி தேர்வு செய்வது? – சிந்திக்க வைக்கும் ஒரு கதை!

எப்படி தேர்வு செய்வது? – சிந்திக்க வைக்கும் ஒரு கதை!

வாழ்க்கை என்பது எப்படிப்பட்டது?

நாம் முதலில் அமைவதைத் தேர்வு செய்வதா?

எல்லாவற்றையும் அனுபவம் மூலம் அறிந்து கொண்டு கடைசியில் கிடைப்பதைத் தேர்வு செய்வதா?

இது ஒரு குழப்பமான கேள்விதான் இல்லையா?

இந்தக் கேள்விக்கு இந்தக் கதை விடை தருமா என்று பாருங்கள்.

ஓர் ஆசிரியர் ஒரு மாணவருக்கு ஒரு சோதனை வைத்தார்.

கொய்யாப்பழங்கள் நிறைந்த தோட்டத்தில் அவனை அனுப்பினார். அவன் பார்ப்பதில் பெரிய பழம் ஒன்றைப் பறிந்து வரச் சொன்னார். அத்துடன் சில நிபந்தனைகளையும் விதித்தார். அவன் பழங்களைப் பார்த்துக் கொண்டே செல்லலாம். ஆனால் சென்ற வழியில் திரும்பக் கூடாது. ஒரு முறை ஒரு பழத்தைப் பறித்த பின் மீண்டும் வேறொரு பழத்தைப் பறிக்கக் கூடாது. ஒரு முறை, ஒரே முறைதான் பறிக்க வேண்டும்.

அந்த மாணவன் தோட்டத்தில் நுழைந்ததுமே மிகப்பெரிய கொய்யாப்பழத்தைப் பார்த்தான். இருப்பினும் இதை விட பெரிய பழங்கள் இருக்கலாம் என்று மேலும் சென்றான். அவன் நினைத்தபடியே பெரிய பழங்கள் இருந்தன. இன்னும் சென்றால் மேலும் பெரிய பழங்களைப் பார்க்கலாம், பறிக்கலாம் என்ற நினைப்பில் அவன் மேலும் சென்றான். ஆனால் அதன் பிறகு அவன் பார்த்ததெல்லாம் சிறிய பழங்கள்தான். அவன் சென்ற வழியில் திரும்பக் கூடாதே. அதனால் வேறு வழியில்லாமல் இருப்பதில் சுமாரான பழம் ஒன்றைப் பறித்துக் கொண்டு திரும்பினான்.

இப்போது அவனது ஆசிரியர் கேட்டார், நீ பார்த்ததிலேயே மிகப் பெரிய பழம் இதுதானா?

அந்த மாணவன் இல்லை என்று தன்னுடைய அனுபவத்தைக் கூறினான்.

இப்போது அதே நிபந்தனையோடு அந்த மாணவனை ஒரு மாம்பழத் தோட்டத்திற்குள் அனுப்பினார்.

முந்தைய அனுபவம் காரணமாக அந்த மாணவன் முதலில் ஒரு பெரிய மாம்பழத்தைப் பார்த்ததும் அதைப் பறித்துக் கொண்டான். அவன் தொடர்ந்து செல்ல செல்ல அவன் பறித்ததை விட மிகப் பெரிய பழங்களைப் பார்க்க நேர்ந்தது. ஒரு முறை பழத்தைப் பறித்து விட்டால் மீண்டும் வேறொரு பழத்தைப் பறிக்கக் கூடாது அல்லவா. அதனால் அவன் முதலில் பறித்த மாம்பழத்தோடு ஆசிரியரைச் சந்தித்தான்.

இப்போது ஆசிரியர் கேட்டார், நீ பார்த்ததிலேயே பெரிய பழம் இதுதானா?

அந்த மாணவன் இல்லை என்று தன்னுடைய அனுபவத்தைக் கூறினான்.

வாழ்க்கையும் இது போன்ற நிபந்தனையுடன் கூடிய பயணம்தானே. காலத்தில் எப்படி நீங்கள் பின்னோக்கி திரும்புவீர்கள். சிலவற்றை ஒரு முறை தேர்ந்தெடுத்து விட்டால் மீண்டும் தேர்ந்தெடுக்க முடியாமல் போய் விடுகிறதுதானே.

இருப்பதில் சிறந்ததைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான வாய்ப்பு எப்போதும் வாழ்க்கையில் வருகிறது. பிறகு அதை விட சிறந்த வாய்ப்புகளும் வருகின்றன. ஆனால் காலத்தில் பின்னோக்கிச் சென்று ஒப்பிட்டுப் பார்த்து எந்த ஒரு வாய்ப்பையும் மாற்றி தேர்ந்தெடுக்க முடியாது. காலம் என்பது ஒரு வழி பயணத்திற்கான பாதையாக அல்லவா இருக்கிறது.

சில நேரங்களில் உங்கள் தேர்ந்தெடுப்பு வெகு சிறப்பாகவும் அமையலாம். சில நேரங்களில் வெகு சுமாராகவும் அமையலாம்.

இதை நீங்கள் என்னவென்று சொல்வீர்கள்.

யோசித்துச் சொல்லுங்களேன்.

இது போன்ற பயனுள்ள கதைகளுக்குத் தொடர்ந்து இணைந்திருங்கள்.

நன்றி.

வணக்கம்.

*****

விகிதமுறா எண்களுக்குப் பாதை அமைத்த பிதாகரஸ் தேற்றம்!

விகிதமுறா எண்களுக்குப் பாதை அமைத்த பிதாகரஸ் தேற்றம்!

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கமும், உயரமும் 1 அலகு என வைத்துக் கொண்டால் எப்படி இருக்கும்?

நாம் இங்கு சொல்வது இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம். சமபக்கங்கள் இரண்டும் 1 அலகு உடையன.

அப்படியானால் கர்ணத்தின் வர்க்கம் என்பது c² = a² + b² என்ற சமன்பாட்டின்படி,

c²         = 1² + 1²

            = 1 + 1

            = 2

இப்போது c = √2

இது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்க முடியாது.

ஒருவேளை விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால், இதை நாம் மிகச் சுருங்கிய விகித வடிவில் எழுத முடியும். அதாவது மேற்கொண்டு அடித்துச் சுருக்க முடியாத வடிவில் எழுத முடியும். அப்படி எழுதும் போது தொகுதி, பகுதியாக அமையும் இரு எண்களுக்கும் பொது காரணி இருக்க முடியாது.

நிலைமை என்னவென்றுதான் பார்த்து விடுவோமே!

c =  விகிதமுறு எண் எனில் c = p/q என எழுத முடியும். ஏனென்றால் அதுதானே விகிதிமுறு எண்களின் வடிவம்.

நமது மேற்படி வாதங்களின் படி pஐயும், qஐயும் மேற்கொண்டு சுருக்க முடியாது. அதாவது அவ்விரு எண்களுக்கும் பொதுக்காரணி என்பது இருக்க முடியாது.

c = p/q எனில்,

p/q =

இச்சமன்பாட்டை வர்க்கப்படுத்தினால்,

p² / q² = 2 என வருவதால்

p² = 2q²

அப்படியானால் p² ஓர் இரட்டை எண். எனவே p உம் இரட்டை எண்.

p ஓர் இரட்டை எண் என்றால் அதை இரண்டின் மடங்காக எழுதலாம்தானே.

நாம் p = 2m என எழுதிக் கொள்வோம்.

அப்படியானால் p² = 2q² என்பது 4m² = 2q² என ஆகி q² = 2m² என ஆகும் அல்லவா!

அப்படி ஆனால் q² உம் கூடவே q உம் இரட்டை எண் ஆகி விடும்.

ஆக p உம் இரட்டை எண், q உம் இரட்டை எண் என்றால், இரண்டும் இரண்டால் அடிபடும். அதாவது இரண்டையும் இரண்டால் மேலும் சுருக்க இயலும் என்றாகி விடுகிறதா?

ஆனால், நாம் p ஐயும் q ஐயும் அப்படி எடுக்கவில்லையே.

இரண்டையும் மேற்கொண்டு எந்தப் பொதுக்காரணியாலும் சுருக்க முடியாது என்றல்லவா எடுத்துள்ளோம்.

ஆகவே நம்முடைய நிலைப்பாடு தவறு.

நம்முடைய நிலைப்பாடு என்ன?

c = √2  விகிதமுறு எண் என்பதுதானே?

அது தவறு.

ஆகவே அது விகிதமுறா எண் என்பதே சரியானது.

இப்படியாக,

ஒரு கருதுகோளை எடுத்துக் கொண்டு முரண்பாடான முடிவை அடைந்தால் நாம் எடுத்துக் கொண்ட கருதுகோள் தவறு. எடுத்துக் கொண்ட கருதுகோளுக்கு மாறான கருதுகோள்தான் சரி.

ஆகவேதான் விகிதமுறு எண் என எடுத்துக் கொண்ட கருதுகோள் தவறு. அதை விகிதமுறா எண் எடுத்துக் கொள்வதே சரி என்ற முடிவிற்கு வருகிறோம்.

இது கணிதத்தில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் முரண்பாட்டு முறையிலான நிரூபணம்.

இதே முறையில் √2, √3, √5, √7, … என்பனவற்றைக் விகிதமுறா எண்கள் என நிரூபிக்க முடியும். அதாவது, பகா எண்களின் வர்க்கமூலங்கள் அனைத்தையும் விகிதமுறா எண்கள் என நிரூபிக்க முடியும்.

இதை 2300 ஆண்டுகளுக்கு முன்பாகவே யூக்ளிட் (கி.மு. 325 – கி.மு. 265) தன்னுடைய Elements நூலில் நிரூபித்திருக்கிறார் என்பதுதான் விசேசம்.

கூடவே, பிதாகரஸ் தேற்றம் எப்படி விகிதமுறா எண்களைக் கண்டுபிடிக்க உதவியிருக்கிறது என்பதும் அடுத்த விசேஷம்.

ஆகவே பிதாகரஸ் தேற்றத்தைக் கணித உலகில் சாதாரணமாகக் கருத முடியாது.

பிதாகரஸ் தேற்றத்தைக் கட்டமைக்கும் எண்களை பிதாகரஸ் எண்கள் என்பர்.

இந்த எண்களை உருவாக்க முடியுமா?

ஏன் முடியாது?

அதை நாளை பார்ப்போம்.

*****

இன்றைய கல்வி & பொதுஅறிவுச் செய்திகள் – 07.03.2025 (வெள்ளி)

பள்ளிக் காலை வழிபாட்டு நிகழ்வுக்கான இன்றைய செய்திகள்

தமிழ் செய்திகள்

1) கிருஷ்ணகிரி மாவட்டம், ஓசூர் அருகே, எலுவப்பள்ளி ஊராட்சி ஒன்றிய தொடக்கப்பள்ளித் தலைமையாசிரியர் கௌரிசங்கர் ராஜா குட்டையில் தவறி விழுந்த மாணவர் நித்திலனைக் காப்பாற்றும் முயற்சியில் உயிரிழந்தார். காப்பாற்றும் முயற்சி தோல்வியுற்று மாணவரும் உயிரிழந்தார். உயிரிழந்த இருவரின் குடும்பங்களுக்கும் முதலமைச்சர் நிவாரண நிதியிலிருந்து தலா 3 லட்சம் வழங்க முதல்வர் உத்தரவிட்டுள்ளார்.

2) பத்தாம் வகுப்பு பொதுத்தேர்வுக்கான தேர்வறை நுழைவுச் சீட்டுகளை மார்ச் 14 முதல் பதிவிறக்கம் செய்து கொள்ளலாம்.

3) நீட் தேர்வுக்கு விண்ணப்பிக்க இன்று கடைசி நாளாகும்.

4) தமிழகத்தில் இரண்டு மாதங்களில் 550 நீதிமன்ற அவமதிப்பு வழக்குகள் தொடரப்பட்டுள்ளதாக மதுரை உயர்நீதிமன்றக் கிளை அதிருப்தி தெரிவித்துள்ளது.

5) தென்மாநிலங்களின் உரிமைகளைப் பாதுகாக்கும் வகையில் தென்மாநில மக்களவை உறுப்பினர்கள் கொண்ட கூட்டுக்குழு அமைக்கப்படும் என தமிழக முதல்வர் தெரிவித்துள்ளார்.

6) தமிழகத்தில் 10 ஆம் தேதி முதல் மூன்று நாட்களுக்கு மழைக்கு வாய்ப்பு உள்ளதாக வானிலை ஆய்வு மையம் தெரிவித்துள்ளது.

7) 5 டிரில்லியன் பொருளாதாரம் என்கிற இந்தியக் கனவு வெகு தூரத்தில் இல்லை என பிரதமர் நம்பிக்கை தெரிவித்துள்ளார்.

8) இந்தியாவில் பெண்களுக்கான வேலையின்மை 3.2 சதவீதமாகக் குறைந்துள்ளது.

9) இந்தியாவில் சேவைத் துறை பிப்ரவரியில் அபரிமிதமான வளர்ச்சி கண்டுள்ளது.

10) டாடா ஊர்திகள் தயாரிப்பு நிறுவனத்தின் விற்பனை 8 சதவீதம் வீழ்ச்சி கண்டுள்ளது.

11) மார்ச் 9 அன்று துபாயில் நடைபெற உள்ள உலக மட்டைப்பந்து சம்மேளன சாதனையாளர் கோப்பை இறுதிப் போட்டியில் இந்தியாவும் நியூசிலாந்தும் மோத உள்ளன.

12) ஒருநாள் மட்டைப்பந்து போட்டிகளிலிருந்து ஆஸ்திரேலிய மட்டைப்பந்து அணியின் தலைவர் ஸ்டீவ் ஸ்மித் ஓய்வு பெறுவதாக அறிவித்துள்ளார்.

English News

1) Near Hosur, Krishnagiri district, the Head master of the Eluvappally Panchayat Union Primary School, Gaurishankar Raja, died while trying to save a student Nithilan who had fallen into a pond. The rescue attempt failed and the student also died. The Chief Minister has ordered to provide Rs 3 lakh each from the Chief Minister's Relief Fund to the families.

2) The hall ticket for the Class 10th public examination can be downloaded from March 14.

3) Today is the last day to apply for the NEET exam.

4) The Madurai High Court bench has expressed dissatisfaction over the fact that 550 contempt of court cases have been filed in Tamil Nadu in two months.

5) The Chief Minister of Tamil Nadu has said that a joint committee of southern state Lok Sabha members will be formed to protect the rights of southern states.

6) The Meteorological Department has said that there is a possibility of rain in Tamil Nadu for three days from the 10th.

7) The Prime Minister has expressed confidence that India's dream of a 5 trillion economy is not far off.

8) Unemployment for women in India has fallen to 3.2 percent.

9) India's services sector has seen tremendous growth in February.

10) Tata Motors' sales have fallen by 8 percent.

11) India and New Zealand are set to face in the final of the ICC Champions Cup to be held in Dubai on March 9.

12) Australian cricket team captain Steve Smith has announced his retirement from one-day cricket.

பிதாகரஸ் தேற்றத்திற்கான ஒரு நிரூபணம்!

பிதாகரஸ் தேற்றத்திற்கான ஒரு நிரூபணம்!

செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணப் பக்கத்தின் வர்க்கமானது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்பது பிதாகரஸ் தேற்றம்.

இதை எப்படி நிரூபிப்பது என்பதை இன்று பார்ப்போம்.

பிதகாரஸ் தேற்றத்தை  c² = a² + b² எனச் சமன்பாட்டால் குறிப்பர்.

அதாவது c என்பது இங்கு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணப் பக்கம்.

aயும் bயும் அடிப்பக்கம் மற்றும் உயரம், அல்லது உயரம் மற்றும் அடிப்பக்கம். நீங்கள் எப்படி வேண்டுமானாலும் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

இப்போது c பக்க அளவுள்ள ஒரு சதுரத்தை உருவாக்கினால், அதாவது முக்கோணத்தின் கர்ணப் பக்கத்தைப் பக்கமாகக் கொண்ட ஒரு சதுரத்தை உருவாக்கினால், அதனுள்ளே நீங்கள் aயும், bயும் அடிப்பக்கம் மற்றும் உயரமாகக் கொண்டு நான்கு செங்கோண முக்கோணங்களையும், அத்துடன் (b-a) பக்க அளவுள்ள சதுரத்தையும் காண முடியும்.

இதை நீங்கள் கீழே உள்ள படத்தில் காணலாம்.

இப்போது சதுரத்தின் பரப்பு c².

இப்பரப்பானது உள்ளே உள்ள நான்கு செங்கோண முக்கோணங்களின் பரப்பு மற்றும், (b-a) பக்க அளவுள்ள சதுரத்தின் பரப்பு ஆகியவற்றின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

அதாவது,

c²         =  4× ½ ab + (b-a)²

இந்த இடத்தில் (a-b)² முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

எங்கெல்லாம் (a-b)² பயன்படுகிறது பாருங்கள்.

            = 2ab + b² – 2ab + a²

            = b² + a²

c²         = a² + b²

எனவே தேற்றம் நிரூபணமாகிறது அல்லவா!

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் இப்புதிய நிரூபணம் உங்களுக்குப் பிடித்திருக்கும் என்று நம்புகிறேன்.

இப்பிதாகரஸ் தேற்றம்தான் விகிதமுறா எண்களின் கண்டுபிடிப்புக்கும் காரணமாகிறது. அது எப்படி என்பதை நாளை பார்ப்போம்.

*****

இன்றைய கல்வி & பொதுஅறிவுச் செய்திகள் – 06.03.2025 (வியாழன்)

பள்ளிக் காலை வழிபாட்டு நிகழ்வுக்கான இன்றைய செய்திகள்

தமிழ் செய்திகள்

1) நேற்று தொடங்கிய பதினொன்றாம் வகுப்பு பொதுத் தேர்வை 8.23 லட்சம் மாணவர்கள் எழுதினர்.

2) கல்வியே உயிரினும் மேலானது எனத் தமிழக முதல்வர் தெரிவித்துள்ளார்.

3) முதல்வர் தலைமையில் நடந்த தொகுதி மறுசீரமைப்பு குறித்த அனைத்துக் கட்சிக் கூட்டத்தில் தற்போதுள்ள நிலையே 30 ஆண்டுகளுக்கு நீடிக்க வேண்டும் என்று முடிவெடுக்கப்பட்டது.

4) தொகுதி மறுசீரமைப்பு நடந்தால் தமிழகம் 8 மக்களவைத் தொகுதிகளை இழக்கும் என்று முதல்வர் அச்சம் தெரிவித்துள்ளார்.

5) விலங்குகளிடம் பரிவு காட்டுமாறு பிரதமர் நாட்டு மக்களுக்கு வேண்டுகோள் விடுத்துள்ளார்.

6) நாளை வரை தமிழகத்தில் வெப்பம் அதிகரிக்கும் என வானிலை ஆய்வு மையம் தெரிவித்துள்ளது.

7) மீண்டும் தங்கத்தின் விலை சவரனுக்கு 64,000/- ஐக் கடந்தது.

8) இந்தியாவுடன் நல்லுறவைத் தொடர விரும்புவதாக வங்கதேசத்தின் தலைமை ஆலோசகர் முகமது யூனுஸ் தெரிவித்துள்ளார்.

9) ஏப்ரல் 2 ஆம் தேதியிலிருந்து அமெரிக்காவில் இந்தியப் பொருட்களுக்குக் கூடுதல் வரி விதிக்கப்படும் என டிரம்ப் அறிவித்துள்ளார்.

10) உக்ரைனுக்கு அமெரிக்கா வழங்கி வரும் ராணுவ உதவிகளை நிறுத்தி வைக்க டொனால்ட் டிரம்ப் உத்தரவிட்டுள்ளார்.

11) சீனா, கனடா, மெக்சிகோ நாடுகளுக்கு அமெரிக்கா விதித்த கூடுதல் வரி விதிப்பு அமலுக்கு வந்தது. பதிலுக்கு சீனா, கனடா நாடுகளும் அமெரிக்க பொருட்களுக்குக் கூடுதல் வரி விதிப்பை அமல் படுத்தியுள்ளன.

12) துபாயில் நடைபெற்று வரும் சாதனையாளர் கோப்பை மட்டைப்பந்து போட்டியில் இந்திய அணி ஆஸ்திரேலியாவை வீழ்த்தி இறுதி போட்டிக்குத் தகுதி பெற்றுள்ளது.

English News

1) 8.23 ​​lakh students wrote the Class 11th public examination that began yesterday.

2) The Tamil Nadu Chief Minister has said that education is more important than life.

3) In the all-party meeting on constituency reshuffle chaired by the Chief Minister, it was decided that the current situation should continue for 30 years.

4) The Chief Minister has expressed fear that Tamil Nadu will lose 8 Lok Sabha seats if the constituency reshuffle takes place.

5) The Prime Minister has appealed to the people to be compassionate towards animals.

6) The Meteorological Department has said that the temperature will increase in Tamil Nadu till tomorrow.

7) The price of gold has again crossed 64,000/- per sovereign.

8) Bangladesh's Chief Advisor Mohammad Yunus has said that he wants to continue good relations with India.

9) Trump has announced that additional duties will be imposed on Indian goods in the US from April 2.

10) Donald Trump has ordered the US to suspend military aid to Ukraine.

11) The US imposed additional tariffs on China, Canada and Mexico. In response, China and Canada have also imposed additional tariffs on American goods.

12) The Indian cricket team has defeated Australia in the ongoing Champions Cup in Dubai and qualified for the final.