முக்கோணத்தின் பரப்பைப் பற்றிப் பார்ப்பதற்கு முன்…

முக்கோணத்தின் பரப்பைப் பற்றிப் பார்ப்பதற்கு முன்…

முக்கோணத்தின் பரப்பு என்பது செவ்வகத்தின் பரப்பில் பாதி என்று நான் நேற்று கூறியிருந்தேன். அது குறித்துச் சிந்தித்து வையுங்கள் என்றும் கேட்டுக் கொண்டிருந்தேன். நீங்களும் சிந்தித்து வைத்திருப்பீர்கள்.

அதற்கு முன் ஒரு சில விசயங்களை நாம் பார்க்க வேண்டியிருக்கிறது. கணிதத்தில் அடிப்படை வடிவங்கள் என்று கூறப்படுபவை நான்கு இருக்கின்றன. அவை, 1. சதுரம், 2. செவ்வகம், 3. முக்கோணம், 4. வட்டம்.

சதுரம் என்பது நான்கு பக்கமும் சமமாக உள்ள வடிவம். சதுரத்தைப் பற்றிச் சொல்லும் போது பிப்டி பிப்டி பிஸ்கெட் உங்கள் நினைவுக்கு வருகிறதா? அத்துடன் சதுரம் என்றால் மூலைவிட்டங்களும் சமமமாக இருக்க வேண்டும். மூலைவிட்டம் சமமாக இல்லாமல் நான்கு பக்கங்களும் சமமாக உள்ள வடிவம் இருக்குமா என்று கேட்டால் இருக்கிறது. அதன் பெயர் சாய்சதுரம். அடிப்படை வடிவங்கள் நான்கு என்று சொல்லி விட்டு இதென்ன திடீர் என்று இப்படி ஒரு வடிவம் முளைக்கிறதே என்று பயப்படாதீர்கள். அது பற்றியெல்லாம் மிக எளிமையாக பிறகு நாம் பார்க்க இருக்கிறோம்.

செவ்வகம் என்றால் நீளமும் அகலமும் சமமாக உள்ள உருவம். செவ்வகத்தைப் பற்றிச் சொல்லும் போது மில்க் பிகிஸ் பிஸ்கெட் உங்கள் நினைவுக்கு வருகிறதா? அத்துடன் செவ்வகம் என்றால் மூலைவிட்டங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும். இல்லையென்றால் அது இணைகரமாகி விடும். அதைச் சாய்ந்த செவ்வகம் என்று சொல்லாம். மறுபடியும் புது வடிவமா என்று பயப்படாதீர்கள். இது பற்றியும் மிக எளிமையாகப் பிறகு பார்ப்போம்.

இதெல்லாம் எதற்குச் சொல்கிறீர்கள் என்று கேட்டால் பரப்பளவு என்ற சொன்னவுடன் நீங்கள் அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் பெருக்கலைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் என்பதைப் போல இனி மூலைவிட்டங்களையும் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் என்பதற்காகத்தான். இனி வரும் வடிவங்களில் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதில் மூலைவிட்டங்கள் முக்கிய இடத்தை வகிக்கும் என்பதால்தான் இது குறித்து இப்போதே பேச வேண்டியிருக்கிறது. ஆக இனி பரப்பளவு என்றால் அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் பெருக்கலோடு மூலைவிட்டம் குறித்தும் கவனமாக இருக்க வேண்டும்.

அது சரி. மூலைவிட்டம் என்பதில் உங்களுக்கு எந்த விதக் குழப்பமும் இல்லையே. ஒரு வடிவத்தில் மூலைகளை இணைக்கும் கோடுதான் மூலைவிட்டம் என்று உங்களுக்குத் தெரியாதா என்ன?

இப்போதாவது முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கு வாருங்கள் என்கிறீர்களா? அதற்கு முன் வட்டம் பற்றிக் கொஞ்சமே கொஞ்சம் பார்த்து விடுவோம். வட்டம் என்றால் உங்கள் நினைவுக்கு மேரி பிஸ்கட் நினைவுக்கு வருகிறதா? அது போதும் விடுங்கள். இதற்கு மேல் பேசினால் என்னை ஒரு வழி பண்ணி விடுவீர்கள். வட்டத்தைப் பற்றிப் பார்க்கும் போது மேலும் விரிவாகத் தெரிந்து கொள்வோம். முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் உங்கள் ஆர்வத்தை இனியும் தடை போட்டு நிறுத்தி விடக் கூடாது.

முக்கோணம் என்பது கணிதத்தில் மிகப்பெரிய பாடத்தலைப்பு என்று சொன்னால் நம்புவீர்களா? முக்கோணவியல் என்ற தனித்தாளே பட்டப்படிப்பில் இருக்கிறது. சமோசா போல இருக்கும் முக்கோணத்திற்கு என்று தனித் தாளே இருக்கிறதா என்றுதானே மலைக்கிறீர்கள்.

முக்கோணம் என்பது மூன்று பக்கங்களால் அடைபட்ட உருவம்தான் என்றாலும் அதில் பல வகைகள் இருக்கின்றன. பக்கத்தை எடுத்துக் கொண்டால் ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் சமமாக இருக்கலாம். இரண்டு பக்கங்கள் மட்டும் சமமாக இருக்கலாம். மூன்று பக்கங்களும் சமமில்லாமல் இருக்கலாம். சரிதான், இப்படி மூன்று விதமான வாய்ப்புகள் இருக்கின்றதுதானே?

இதனால் பக்கங்களின் அடிப்படையில் பார்க்கும் போது மூன்று பக்கங்களும் சமமாக இருந்தால் அந்த முக்கோணத்தை சமபக்க முக்கோணம் என்று அழைப்பார்கள். இரண்டு பக்கங்கள் மட்டும் சமமாக இருந்தால் அதை இருசமபக்க முக்கோணம் என்று அழைப்பார்கள். மூன்று பக்கங்களும் சமமில்லாமல் இருந்தால் அசமபக்க முக்கோணம் என்று அழைப்பார்கள்.

இந்த மூவகை முக்கோணங்களும் கோணங்களின் அடிப்படையில் குறுங்கோண முக்கோணமாகவோ, செங்கோண முக்கோணமாகவோ, விரிகோண முக்கோணமாகவோ அமையலாம். இதென்ன அடுத்த வகைபாடு என்கிறீர்களா? அதுதானே? முக்கோணம் என்றால் மூன்று பக்கங்கள் இருந்தால் மூன்று கோணங்கள் இருக்க வேண்டும்தானே? அந்த மூன்று கோணங்களும் எப்படி அமைகிறது என்பதைப் பொருத்த வகைபாடு இது.

நீங்களே யோசித்துப் பாருங்களேன். ஒரு முக்கோணம் என்றால் மூன்று கோணங்களும் குறுங்கோணமாக இருக்கலாம். அல்லது இரண்டு குறுங்கோணங்களும் ஒரு விரிகோணமும் ஆக இருக்கலாம். மூன்று கோணங்களும் விரிகோணமாக அமைய இயலாது ஏனென்றால் முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180⁰க்குள் வந்தாக வேண்டும் என்று கணிதத்தில் விதி இருக்கிறது. இந்த விதியையும் பின்னால் நாம் சரியா என்று பார்த்து விடுவோம். அதனால் இரண்டு விரிகோணங்கள் அமையக் கூட சாத்தியம் கிடையாது. ஒரே ஒரு விரிகோணம்தான்.

அல்லது வேறொரு விதமாக ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு செங்கோணமும் இரண்டு குறுங்கோணங்களும் அமையலாம். இரண்டு செங்கோணங்கள் அமைய வாய்ப்பு கிடையாது என்பதற்கு ஏனென்று நான் காரணம் கூறத் தேவையில்லை. காரணம் முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூடுதல் 180⁰க்குள் அமைந்தாக வேண்டும். இரண்டு செங்கோணங்கள் என்றால் அந்த இரு செங்கோணங்களின் கூடுதலே 180⁰ வந்து விடும். மூன்றாவது கோணம் அமைய வாய்ப்பே இல்லாமல் போய் விடுமே. மூன்று கோணங்கள் அமைந்தால்தானே முக்கோணம். இப்போது தெளிவா கவிட்டதா?

பக்கங்களின் அடிப்படையில் முக்கோணங்களை வகைபடுத்தியதைப் போல இப்போது கோணங்களின் அடிப்படையிலும் முக்கோணங்களை வகைபடுத்தலாம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களும் குறுங்கோணங்கள் என்றால் அது குறுங்கோண முக்கோணம். ஏதேனும் ஒரு கோணம் விரிகோணமாக அமைந்தால், ஆம் ஒரு கோணம்தானே விரிகோணமாக அமைய இயலும் என்பதால் அது விரிகோண முக்கோணம். அதே போல ஏதேனும் ஒரு கோணம் செங்கோணமாக அமைந்தால் அது செங்கோண முக்கோணம்.

சமபக்க முக்கோணங்கள் குறுங்கோண முக்கோணங்களாக அமையும். இருசமபக்க முக்கோணங்கள் குறுங்கோண முக்கோணங்களாகவோ, செங்கோண முக்கோணங்களாகவோ, விரிகோண முக்கோணங்களாகவோ அமையும். அசமபக்க முக்கோணங்களும் அப்படியே குறுங்கோண முக்கோணங்களாவோ, செங்கோண முக்கோணங்களாகவோ, விரிகோண முக்கோணங்களாகவோ அமையும்.

ஆக நீங்கள் எப்படி முக்கோணம் வரைந்தாலும் அல்லது அமைக்க நினைத்தாலும் குறுங்கோண முக்கோணமாகவோ, செங்கோண முக்கோணமாகவோ அல்லது விரிகோண முக்கோணமாகவோத்தான் அமையும். வேறு விதமான முக்கோணங்களை உங்களால் வரையவோ அமைக்கவோ முடியாது.

அப்படியானால் இந்த மூன்றுவிதமான முக்கோணங்களுக்கும் மூன்றுவிதமான பரப்பளவுக்கான சூத்திரங்கள் இருக்கின்றனவா என்று பயந்து விடாதீர்கள். மூன்று விதமான முக்கோணங்களுக்கும் ஒரே பரப்பளவுக்கான சூத்திரம்தான்.

நாம் எந்தக் கணித உண்மையாக இருந்தாலும் அதைச் சோதித்து அறிய வேண்டும் என்ற பிடிவாதம் உள்ளவர்கள் ஆயிற்றே. அதனால் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு என்று நாம் சொன்ன செவ்வகத்தின் பரப்பில் பாதி என்ற கருத்து இந்த மூன்று வகை முக்கோணங்களுக்கும் பொருந்துகிறதா எனப் பார்க்க வேண்டும்தானே.

இப்போது புரிகிறதா நாம் ஏன் முக்கோணத்தின் பரப்பைக் காணும் சூத்திரத்தைத் தள்ளிக் போட்டுக் கொண்டே வருகிறோம் என்று. அதனால் இன்றும் நாம் முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தைப் பார்க்கப் போவதில்லை. நாளைதான் பார்க்கப் போகிறோம். என் மீது உங்களுக்கு இப்போது கோபம் இருக்கும் என்று எனக்கு நன்றாகவே தெரிகிறது.

நாம் ஒரு தெளிவான புரிதலோடு சூத்திரங்களைப் பார்த்து விட்டால் அது உங்களுக்குக் காலத்திற்கும் மறக்காது. அதற்காகவே இவ்வளவு புரிதலுக்குப் பின் நாளை கண்டிப்பாக முக்கோணத்தின் பரப்பைப் பற்றிப் பார்த்து விடுவோம்.

*****