நேர் விகிதத்தின் முக்கிய கணிதப் பண்புகளைத் தெரிந்து கொள்ளுங்கள்!

நேர் விகிதத்தின் முக்கிய கணிதப் பண்புகளைத் தெரிந்து கொள்ளுங்கள்!

சமான பின்னங்கள் அனைத்தும் நேர் விகிதமாக அமையும் என்று நேற்றுப் பார்த்தோம் அல்லவா!

¼ இன் சமான பின்னங்களை தொகுதி பகுதியாகக் கீழ்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்திப் பார்ப்போமா?

தொகுதி	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
பகுதி	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40

மேற்கண்ட அட்டவணையை உற்றுநோக்கினால் உங்களுக்கு என்ன தோன்றுகிறது?

இடமிருந்து வலமாகப் பாருங்கள். அதாவது இங்கிருந்து அங்கு நோக்கிப் பாருங்கள். தொகுதிகள் அதிகரித்த வண்ணம் செல்கின்றன. தொகுதிகள் மட்டுமா? பகுதிகளும்தான் அதிகரித்த வண்ணம் செல்கின்றன.

இப்போது வலமிருந்து இடமாகப் பாருங்கள். அதாவது அங்கிருந்து இங்கு பாருங்கள். தொகுதிகள் குறைந்த வண்ணம் செல்கின்றன. தொகுதிகள் மட்டுமா? பகுதிகளும் குறைந்த வண்ணம் செல்கின்றன.

இப்போது இன்னொன்றையும் கவனியுங்கள். தொகுதி அதிகரிக்க அதற்கேற்றாற் போல பகுதியும் அதிகரித்துக் கொண்டு போகிறது அல்லவா! அல்லது வலமிருந்து இடமாகப் பார்க்கும் போது தொகுதி குறைந்தால் அதற்கேற்றாற்போல் பகுதியும் குறைந்து கொண்டு போகிறது அல்லவா!

இந்தக் கணித பண்பைத்தான் நீங்கள் கவனிக்க வேண்டும்.

தொகுதி அதிகரித்தால் பகுதியும் அதிகரிக்கும். தொகுதி குறைந்தால் பகுதியும் குறையும். இதுதான் நேர் விகிதத்திற்கான கணிதப் பண்பு. அதிகரித்தால் தொகுதி, பகுதி ஆகிய இரு உறுப்புகளும் அதிகரிக்கும். குறைந்தால் தொகுதி பகுதி ஆகிய இரு உறுப்புகளும் குறையும்.

அப்படியானால் இதற்கு மாறாக நடந்தால் அது என்னவென்று நான் சொல்லவும் வேண்டுமோ? அதுதான் எதிர்விகிதப் பண்பு. அதாவது தொகுதி அதிகரிக்கும் போது பகுதி குறையும் அல்லது பகுதி அதிகரிக்கும் போது தொகுதி குறையும்.

இப்போது உங்களுக்கு நன்றாகப் புரிந்திருக்கும் என்று நினைக்கிறேன்.

நாம் எதுவாக இருந்தாலும் வாய்பாட்டை மையப்படுத்திப் பார்ப்போம் அல்லவா? அப்படிப் பார்த்தால் நாம் மேலே பார்த்தது நான்காம் வாய்பாடுதானே? தொகுதியாக இருப்பன வாய்பாட்டின் வரிசையாகப் பெருக்கும் எண்கள், பகுதியாக இருப்பன வாய்பாட்டில் அமையும் பெருக்கற்பலன்கள்தானே?

அது மட்டுமா? வடிவியல் மற்றும் அளவைகள் வழியாகப் பார்த்தால் தொகுதியாக இருப்பவை எல்லாம் சதுரத்தின் பக்கங்கள். பகுதியாக இருப்பவை எல்லாம் தொடர்புடைய பக்கங்களைக் கொண்டு சதுரத்தின் சுற்றளவுகள் அல்லவா?

பாருங்கள் நாம் எங்கு ஆரம்பித்து எதில் வந்து நிற்கிறோம் என்று. கணிதத் தலைப்புகள் ஒவ்வொன்றும் எப்படியெல்லாம் தொடர்பு கொள்கின்றன என்று பாருங்கள்.

இப்போது சமான பின்னங்களின் முக்கியமான கணிதப் பண்பை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

மேலே உள்ள அட்டவணையிலிருந்து ஏதேனும் இரு சமான பின்னங்களை எடுத்துக் கொண்டு சமப்படுத்திப் பாருங்களேன்.

உதாரணமாக

2 / 8 = 3 / 12

இவை இரண்டையும் இரண்டு பக்கமும் சுருக்கிப் பாருங்கள்.

இடப்பக்கம் உள்ள பின்னத்தை மேலும் கீழும் இரண்டால் சுருக்கினால் அதாவது வகுத்தால்  ¼ என வருகிறதா?

இதே போல வலப்பக்கம் உள்ள பின்னத்தை மேலும் கீழும் மூன்றால் சுருக்கினால் அதாவது வகுத்தால் ¼ என வருகிறதா?

இந்த இரண்டு சமான பின்னங்கள் என்றில்லை, அட்டவணையில் உள்ள வேறு சமான பின்னங்களை எடுத்துச் சுருக்கிப் பார்த்தாலும் ¼ என்றுதான் வரும்.

இதனால் சமான பின்னங்களை எப்படிச் சுருக்கினாலும் அது அதன் எளிய வடிவத்திற்கு வந்து விடும். இதை நாம் மாறிகளைக் கொண்டு எப்படிக் குறிக்கலாம் என்று நான் உங்களுக்குச் சொல்லவும் வேண்டுமோ? அதாவது x / y = ஒரு மாறிலி அதாவது a constant என்றுதானே?

இதுதான் சமான பின்னங்களின் முக்கிய கணிதப் பண்பு. சமான பின்னங்களுக்கு மட்டுமல்ல நேர் விகிதத்திற்கும் முக்கிய கணிதப் பண்பு.

அத்துடன் மேலே நாம் சமப்படுத்திய 2 / 8 = 3 / 12 என்ற சமான பின்னங்களைக் குறுக்குப் பெருக்கல் செய்து பாருங்கள். அதாவது இடப்பக்கம் உள்ள பின்னத்தின் தொகுதியோடு வலப்பக்கத்தில் உள்ள பின்னத்தின் பகுதியைப் பெருக்குங்கள். அதே போல இடப்பக்கம் உள்ள பின்னத்தின் பகுதியோடு வலப்பக்கம் உள்ள பின்னத்தின் தொகுதியைப் பெருக்குங்கள். பெருக்கிய இரண்டு பெருக்கற்பலனையும் சமப்படுத்திப் பாருங்கள்.

சமமாக அதாவது,

2 × 12 = 3 ×8

24 = 24 என வருகிறதா?

இதே போல நாம் அட்டவணையில் குறிப்பிட்டுள்ள எந்த இரண்டு சமான பின்னங்களை எடுத்துக் குறுக்குப் பெருக்கல் செய்து பார்த்தால் ஒரே விடைதான் சமக்குறியின் இரு புறமும் கிடைக்கும்.

இதுவும் சமான பின்னங்களின் முக்கிய கணிதப் பண்பாகும். அத்துடன் நேர் விகிதங்களுக்கான முக்கியமான கணிதப் பண்பாகும். இந்தப் பண்பைப் பயன்படுத்திதான் நாம் நேர்விகித கணக்குகளுக்கான விடையை எளிதில் கண்டறியப் போகிறோம். ஆகையால் இந்தக் கணிதப் பண்பை நன்றாக நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

இன்றே நேர்விகிதத்தன் வாழ்வியல் பயன்பாட்டைச் சொல்வதாகச் சொன்னேன். ஆனால் பாருங்கள் நிறைய சொல்லி விட்டதால் அதை நாளைக்குச் சொல்லி விடுகிறேனே!

ஒரு நாள் காத்திருங்கள். நேர் விகிதத்தின் வாழ்வியல் பயன்பாட்டைத் தெரிந்து கொண்டு விடுவோம்.

அதற்கு முன் நேர்விதிகம் தொடர்பாக நாம் கற்றுள்ள முக்கியமான கருத்துகளைத் தொகுத்துப் பார்த்து நன்றாக நினைவில் வைத்துக் கொள்வோம்.

1.      நேர் விகிதத்தில் ஓர் உறுப்பு அதிகரித்தால் மற்றோர் உறுப்பும் அதிகரிக்கும். அல்லது ஓர் உறுப்பு குறைந்தால் மற்றோர் உறுப்பும் குறையும்.

2.      நேர் விகிதத்தின் எந்த ஒரு விகிதத்தை எடுத்துச் சுருக்கினாலும் அது ஒரு மாறிலியைத் தரும்.

3.      நேர் விகிதத்தின் இரண்டு விகிதங்களைக் குறுக்குப் பெருக்கல் செய்தால் கிடைக்கும் பெருக்கற்பலன்கள் சமமாக இருக்கும்.

என்ன நாம் தொகுத்தது சரிதானா? இதை நன்றாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ளுங்கள். மற்றவைப் பற்றி நாளை பார்த்து விடுவோம்.

*****