சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு காண்போமா?

சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு காண்போமா?

சாய்சதுரம் சதுரம் போன்ற அமைப்பை உடையது என்றாலும் சதுரத்திற்கும் சாய்சதுரத்திற்கும் வேறுபாடு உள்ளது.

சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களைப் போலச் சாய்சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களும் சமம் என்றாலும் சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்களைப் போலச் சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் சமமானவை அல்ல. இந்த வேறுபாடுதான் சாய்சதுரத்தைச் சதுரத்திலிருந்து வேறுபடுத்துகிறது.

மாணவர்கள் எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்வதற்காகச் சாய்சதுரத்தின் மாதிரிப் படத்தை வரையச் சொல்லும் போது டைமண்ட் வடிவத்தை நினைவில் வைத்துக் கொள்ள சொல்வதுண்டு.

நான்கு பக்கங்களும் சமமாகவும் மூலைவிட்டங்கள் சமமாகவும் இல்லாத சாய்சதுரத்தை வடிவத்தை முதலில் பார்த்து விடுவோம்.

இதுதான் சாய்சதுரம். இதன் மூலைவிட்டங்கள் சமமாகி விட்டால் அது சதுரமாகி விடும் என்பதை நாம் மறந்து விடக் கூடாது.

நாம் பரப்பளவு குறித்து பார்ப்பதற்கு மூலைவிட்டங்கள் பெரிதும் உதவும் என்று சொல்லியிருப்பதையும் நீங்கள் மறந்து விடக் கூடாது.

இப்போது இந்தச் சாய்சதுரத்திற்கு மூலைவிட்டங்களை வரைவோம். முதலில் கிடைமட்ட மூலைவிட்டத்தை வரைந்து கொள்வோம்.

இந்தக் கிடைமட்ட மூலைவிட்டத்தைப் பார்த்ததும் உங்களுக்கு என்ன தோன்றுகிறது? இந்த மூலைவிட்டம் சாய்சதுரத்தை இரண்டு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது அல்லவா? அடடா இப்போது புரிந்து விட்டது என்கிறீர்களா?

சரிதான், நாற்கரத்திற்குப் பரப்பளவு கண்டுபிடித்த முறையிலேயே இந்த இரண்டு முக்கோணங்களின் பரப்பளவின் கூடுதலையும் கண்டுபிடித்து விட்டால் அதுதான் சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம் என்பதை இந்நேரம் நீங்கள் கண்டுபிடித்து இருப்பீர்களே?

இந்தக் கிடைமட்ட மூலைவிட்டமானது மேலே ஒரு முக்கோணத்தையும் கீழே ஒரு முக்கோணத்தையும் உருவாக்கி அதுவே அவ்விரு முக்கோணங்களின் அடிப்பக்கமாக அதாவது b ஆக அமைகிறதா?

இப்போது நமக்குத் தேவை முக்கோணங்களின் உயரங்கள்தானே? அதற்கு நாம் சாய்சதுரத்தின் செங்குத்து மூலைவிட்டத்தை வரைந்தாலே போதும். அது எப்படி என்கிறீர்களா? இப்படித்தான், படத்தைப் பாருங்கள்.

இப்போது இந்த செங்குத்து மூலைவிட்டமும் சாய்சதுரத்தை இடது வலது என இரண்டு முக்கோணங்களின் தொகுப்பாக அமைப்பதை நீங்கள் காணலாம்.

அடுத்தாக நீங்கள் சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் குறித்து ஒரு கணித உண்மையைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

நாம் வரைந்துள்ள சாய்சதுரத்தை அப்படியே காகிதத்தில் வெட்டியெடுத்து கிடைமட்ட மூலைவிட்டத்தின் வழியே மடித்துப் பாருங்களேன். இப்போது உங்களுக்கு ஓர் உண்மை புரியும். அது என்னவென்றால் செங்குத்து மூலைவிட்டத்தைக் கிடைமட்ட மூலைவிட்டம் இரண்டு சமமாகப் பிரிக்கிறது என்பதுதான். அதே போல செங்குத்து மூலைவிட்டம் வழியாக மடித்துப் பார்த்தால் அது கிடைமட்ட மூலைவிட்டத்தை இரு சமமாகப் பிரிப்பதை அறியலாம். என்ன சரிதானே?

மேலும் இதில் புலப்படும் மற்றோர் உண்மை என்னவென்றால் கிடைமட்ட மூலைவிட்டத்தின் வழியாக மடிக்கும் போது மேலும் கீழும் உள்ள முக்கோணங்கள் சமமாக இருப்பது. அதே போல செங்குத்து மூலைவிட்டம் வழியாக மடிக்கும் போது வலது மற்றும் இடது முக்கோணங்களும் சமமாக இருப்பதும் புலப்படும்.

நாம் சாய்சதுரத்திற்கு இரண்டு மூலைவிட்டங்கள் வரைந்திருப்பதால் இரண்டையும் வேறுபடுத்த கிடைமட்ட மூலைவிட்டத்தை d₁ என்ற மாறியாலும் செங்குத்து மூலைவிட்டத்தை d₂ என்ற மாறியாலும் குறித்துக் கொள்வோம்.

நாம் கிடைமட்ட மூலைவிட்டம் வழியாக பார்க்கும் போது மேலே ஒரு முக்கோணமும் கீழே ஒரு முக்கோணமும் அமைகிறது அல்லவா? இவ்விரு முக்கோணங்களின் கூடுதல்தானே சாய்சதுரத்தின் பரப்பு. அத்துடன் இவ்விரு முக்கோணங்களும் சம அளவுள்ள முக்கோணங்கள் அல்லவா? அதனால் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பைக் கண்டறிந்து அதை இரண்டாம் பெருக்கிக் கொண்டால் நாம் சாய்சதுரத்தின் பரப்பைப் பெற்று விடலாம் அல்லவா?

நாம் மேலே உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பை மட்டும் கண்டறிந்து அதை இரண்டால் பெருக்கிக் கொள்வோமா?

மேலே உள்ள முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கம் b என்பது இங்கே நம்மைப் பொருத்த வரையில் d₁ அல்லவா? அத்துடன் முக்கோணத்தன் உயரம் h என்பது செங்குத்து மூலைவிட்டத்தின் பாதி அல்லவா? அது செங்குத்து மூலைவிட்டம் என்பதிலிருந்தும் அது கிடைமட்ட மூலைவிட்டத்தால் இரு சமமாகப் பிரிக்கப்படுகிறது என்பதிலிருந்தும் இங்கே உயரம் என்பது d₂/2 அல்லவா?

இதை நீங்கள் கீழே உள்ள படத்திலும் பாருங்கள்.

ஆக முக்கோணத்தின் பரப்பு ½bh சதுர அலகுகள் என்பது இங்கே ½d₁×(d₂/2) சதுர அலகுகள் என்பது சரிதானே?

இப்போது சாய்சதுரத்தின் பரப்பு என்பது 2 × முக்கோணத்தின் பரப்பு என்பதால்,

சாய்சதுரத்தின் பரப்பு = 2 × ½d₁×(d₂/2) சதுர அலகுகள். இங்கே மேலே இருக்கும் 2 ஐம் d₂ இன் கீழே இருக்கும் 2 ஐம் அடித்து விட்டால் நமக்குக் கிடைப்பது ½d₁d₂ சதுர அலகுகள் என்பதுதானே? இதுதான் சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம்? என்ன புரிந்ததா?

அடுத்து சரிவகத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தைக் காண வேண்டும். அதை நாளைக் காண்போமா?

*****