நாற்கரத்தின் பரப்பு காண அறிவோமா?

நாற்கரத்தின் பரப்பு காண அறிவோமா?

ஒரு சதுரத்தைப் பற்றி நினைக்கும் போது உங்களுக்கு என்ன தோன்றுகிறது? அது நான்கு பக்கமும் சமமான வடிவம் என்றுதானே. ஆனால் நாற்கரம் என்பது நான்கு பக்கங்களும் சமமில்லாத வடிவம். நான்கு பக்கங்களும் வெவ்வேறு அளவுகள் கொண்டதாக இருக்கும்.

பரப்பளவு பற்றி நாம் பார்க்கும் போது இனிமேல் அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் பெருக்குத்தொகையுடன் மூலைவிட்டங்கள் குறித்தும் கவனம் கொள்ள வேண்டும் என்ற விசயத்தை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருப்பீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

செவ்வகம் பற்றி நினைக்கும் போது நீள பக்கங்கள் சமம், அகலப் பக்கங்கள் சமம், அதாவது எதிரெதிர் பக்கங்கள் சமம் அத்துடன் இணை, அத்துடன் அவற்றின் மூலைவிட்டங்களும் சமம் என்கின்ற விசயங்கள் நினைவுக்கு வருகிறதா?

ஆனால் செவ்வகம் போன்று சாய்ந்து அமையும் ஒரு இணைகரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்கள் சமமாகவும் இணையாகவும் அமைந்தாலும் மூலைவிட்டங்கள் சமம் கிடையாது என்ற விசயமும் ஞாபத்திற்கு வருகிறதா?

நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் மட்டுமல்லாது மூலைவிட்டங்களும் சமம் கிடையாது. அத்துடன் நாற்கரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்கள் சமமாகவும் இருக்காது, இணையாகவும் இருக்காது.

ஒருவேளை நான்கு பக்கங்கள் சமமாக அமையாமல் எதிரெதிர் பக்கங்களில் ஒரு சோடி மட்டும் இணையாக அமைந்தால் அதுதான் சரிவகம். நாற்கரத்திற்கு எந்த சோடி எதிர்ப் பக்கமும் இணையாக அமையாது. ஏதேனும் ஒரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்கள் இணையாக அமைந்தால் நாற்கரம் சரிவகமாக அமைந்து விடும்.

எதற்கு இவ்வளவு சொல்கிறீர்கள் என்றுதானே கேட்கிறீர்கள்? நாற்கரம் பற்றிய ஒரு சித்திரத்தை உங்கள் மனதில் தீட்டுவதற்குதான்.

இப்போது ஒரு நாற்கரம் வரைவோமா? பொதுவாக மாணவர்கள் எளிதாகப் புரிந்து கொள்வதற்காக இப்படி ஒரு முறையை நான் வகுப்பறையில் சொல்வதுண்டு. அதையே உங்களுக்கும் சொல்கிறேன். இதை விட எளிமையான முறை உங்களுக்குத் தெரிந்தால் அது குறித்து தயவு செய்து பகிர்ந்து கொள்ள வேண்டுகிறேன்.

ஒரு தொட்டி போன்ற அமைப்பை வரைந்து கொள்ளுங்கள். அதன் ஒரு பக்கத்தை மீட்டும் நீட்டிக் கொள்ளுங்கள். இப்போது ஒரு பக்கம் நீளமான தொட்டியை ஒரு கோட்டைப் போட்டு மூடி விடுங்கள். அவ்வளவுதான் நாற்கரம் கிடைத்து விட்டதா? இதை கீழே உள்ள படத்தில் மூன்று படிநிலைகளில் வரைந்து காட்டியுள்ளேன்.

இப்போது நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்போமா? அதை வெகு சுலபாகக் கண்டுபிடித்து விடலாம்.

நாற்கரத்தின் ஏதேனும் இரு மூலைகளை இணைக்கும் மூலைவிட்டம் வரையுங்கள். நான் முன்பே கூறியிருந்தேன் அல்லவா, இனி வரும் கணக்குகளில் மூலைவிட்டம் முக்கிய பங்கு வகிக்கும் என்று. என்ன வரைந்து விட்டீர்களா? அதாவது நாம் வரைந்திருந்த நாற்கரத்திலேயே மூலைவிட்டம் ஒன்றை இப்படி வரைந்து கொள்ளுங்களேன்.

இப்போது அந்த மூலைவிட்டத்தின் வழியே மேலும் கீழும் பாருங்கள். மேலே உள்ள முக்கோணம் உள்ளதா? அதே போல கீழே உள்ள முக்கோணம் உள்ளதா? அப்படியானால் இந்த இரு முக்கோணங்களின் பரப்பளவையும் கூட்டிக் கொண்டால் அதுதானே நாற்கரத்தின் பரப்பு? ஆமாம் என்கிறீர்களா? அவ்வளவுதான் விசயம்.

இப்போது நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டத்தை diagonal என்பதன் முதலெழுத்தான d என்ற மாறியால் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அதுதானே நமது இரு முக்கோணங்களின் அடிப்பக்கமாக அமையும். ஆகவே முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கமான b என்ற மாறியை இப்போது நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டமான d என்ற மாறியால் குறித்துக் கொள்வோம். மேலே உள்ள முக்கோணத்தின் உயரத்தை h₁ என்ற மாறியாலும் கீழே உள்ள முக்கோணத்தின் உயரத்தை h₂ என்ற மாறியாலும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். உங்களின் புரிதலுக்காக நாம் வரைந்துள்ள படத்திலே அவற்றையும் குறித்துக் காட்டியுள்ளேன் பாருங்கள்.

நமக்குதான் முக்கோணத்தின் பரப்பு ½bh சதுர அலகுகள் என்பது தெரியும்தானே? இப்போது நமது முக்கோணங்களின் அடிப்பக்கம் d என்பதால் மேலே உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பு ½dh₁ சதுர அலகுகள் எனவும் கீழே உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பு ½dh₂ சதுர அலகுகள் எனவும் அமையும் அல்லவா?

இப்போது நாற்கரத்தின் பரப்பு = மேலே உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பு + கீழே உள்ள முக்கோணத்தின் பரப்பு அல்லவா?

அதன்படி,

நாற்கரத்தின் பரப்பு = ½dh₁ + ½dh₂         

பொதுவாக உள்ள ½d ஐ வெளியே எடுத்து அடைப்புக்குறியிட்டால்,

நாற்கரத்தின் பரப்பு = ½d( h₁ + h₂ ) சதுர அலகுகள் என அமையும் அல்லவா?

இதுதான் நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்பதற்கான சூத்திரம். என்ன புரிந்து விட்டதா?

நாளை சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு காணும் சூத்திரத்தையும் இதே போன்ற முறையில் காண்போம்.

*****