வட்டத்தின் பரப்பைக் காண்போமா?

வட்டத்தின் பரப்பைக் காண்போமா?

வட்டத்தின் பரப்பளவை எப்படிக் காண்பது என்று சுற்றிச் சுற்றி வந்து யோசித்துக் கொண்டிருக்கிறீர்கள்தானே. அது வட்டம் என்பதால் நீங்கள் சுற்றிச் சுற்றி வந்து யோசித்துக் கொண்டிருப்பதில் ஆச்சரியமில்லை. ஆகவே நீங்கள் இன்று வட்டத்தின் பரப்பளவு காண்பது குறித்து நீங்கள் மிகுந்த ஆவலாக இருக்கிறீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

அதற்கு முன் வட்டத்தின் சுற்றளவு குறித்த சூத்திரத்தை ஒருமுறை நினைவுக்குக் கொண்டு வாருங்கள். நேற்று பார்த்தது இன்று மறந்து விடுமா என்றுதானே கேட்கிறீர்கள். நீங்கள் மறக்க மாட்டீர்கள் என்பது எனக்குத் தெரியும். நாம் வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிப்பதில் வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கான சூத்திரம் உதவப் போகிறது என்பதற்காகத்தான் அதை ஞாபகத்திற்குக் கொண்டு வரச் சொன்னேன்.

வட்டத்தின் சுற்றளவு = 2 r அலகுகள் என்பது இந்நேரம் உங்கள் ஞாபகத்திற்கு வந்திருக்கும் என்பதை நான் அறிவேன்.

அத்துடன் சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தையும் நினைவுக்குக் கொண்டு வாருங்கள். அது bh சதுர அலகுகள் என்பது எங்களுக்குத் தெரியாதா என்றுதானே கேட்கிறீர்கள்? உங்களுக்குத் தெரியாத கணித விசயங்கள் இனி கணிதத்தில் இருக்க முடியுமா என்ன?

இனி வட்டத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தைக் கண்டறிவோமா?

வட்டத்திற்குப் பக்கங்கள் கிடையாது அல்லவா? பக்கங்கள் இருந்தால் அடுத்தடுத்த பக்கங்களைப் பெருக்கிச் சுலபமாகப் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தைச் சொல்லி விடலாம்? இப்போது நாம் என்ன செய்வது?

ஒரு வட்டத்தை வரைந்து கொண்டு அதற்கு உங்களால் எவ்வளவு விட்டங்கள் வரைய முடியுமோ அவ்வளவு வரையுங்கள்.

விட்டங்கள் வரையும் போது வட்டத்தைச் சமமாகப் பிரிக்கும் வகையில் இருக்குமாறு வரைந்து கொள்ளுங்கள். உதாரணத்துக்கு ஒரு விட்டம் வரையும் போது வட்டம் இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிய வேண்டும். இரண்டு விட்டங்கள் வரையும் போது நான்கு சம பாகங்களாகப் பிரிய வேண்டும். நான்கு விட்டங்கள் வரையும் போது எட்டு சம பாகங்களாகப் பிரிய வேண்டும. எட்டு விட்டங்கள் வரைந்தால் பதினாறு சம பாகங்களாகப் பிரிய வேண்டும். பதினாறு விட்டங்கள் வரைந்தால் முப்பத்து இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிய வேண்டும். இப்படிச் சம பாகங்களாகப் பிரியும் வகையில் எவ்வளவுக்கெவ்வளவு விட்டங்களை உங்களால் ஒரு வட்டத்திற்குள் வரைய முடியுமோ அவ்வளவு வரைந்து கொள்ளுங்கள்.

விட்டங்களை எந்த அளவுக்கு அதிகரித்துக் கொண்டு போகிறீர்களோ அந்த அளவுக்குப் பரப்பளவுக்கான உருவம் துல்லியமாக ஒரு சாய்சதுரமாக அமையும். அதெப்படி சாய்சதுரமாக அமையும் என்றுதானே கேட்கிறீர்கள்?

இப்போது நீங்கள் விட்டங்கள் வழியே வட்டங்களைத் துண்டு துண்டுகளாக வெட்டியெடுத்து படத்தில் காட்டியபடி ஒட்டுங்கள்.

அதிகபட்சம் நீங்கள் 16 விட்டங்கள் வரைந்து 32 சம பாகங்களாகப் பிரித்திருந்தால் கூட போதுமானது. இப்போது உங்களுக்கு 32 வட்டத்தின் சம பாகங்கள் கிடைத்திருக்கும். இச்சம பாகங்களின் நீளம் ஆர அளவுக்குச் சமமாகவும் மேற்பகுதியில் அகலம் வட்டத்தின் சுற்றளவில் குறிப்பிடத்தக்க அளவு சிறியதாகவும் இருக்கும். இச்சமபாகங்களைத்தான் படத்தில் காட்டியபடி ஒட்டுங்கள்.

நீங்கள் ஒட்டிய பிறகு பார்த்தால் இந்த அமைப்பு ஒரு சாய்சதுரம் போன்றுதானே இருக்கிறது. உங்களுக்குத்தான் சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம் தெரியுமே? அதை நாம் bh சதுர அலகுகள் என்று நினைவில் கொண்டு வந்து வைத்திருக்கிறோமே.

இப்போது வட்டத்தின் துண்டுகளைக் கொண்டு நாம் ஒட்டி வைத்திருக்கும் சாய்சதுரத்தின் அடிப்பக்கம் b என்பது வட்டத்தின் சுற்றளவில் பாதி அல்லவா! பாதி என்றால் இன்னொரு பாதி எங்கே என்றுதானே கேட்கிறீர்கள்? அது சாய்சதுரத்தின் மேல்பக்கத்தில் இருக்கிறது. அதாவது வட்டத்தின் ஒரு பாதி சுற்றளவு கீழும் மறுபாதி சுற்றளவு மேலும் இருக்கிறது. அதனால் சாய்சதுரத்தின் அடிப்பக்கம் வட்டத்தின் சுற்றளவில் பாதி. அதாவது 2 r / 2 = r அலகுகள்

அடுத்து சாய்சதுரத்தின் அடிப்பக்கத்திற்கும் மேல் பக்கத்திற்கும் இருக்கும் தொலைவானது அதாவது சாய்சதுரத்தின் உயரம் h என்பது வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து வட்டத்தின் பரிதி வரை இருக்கும் தூரமாக இருப்பதால் அது ஆரம்தானே. அதாவது h = r.

இப்போது சொல்லுங்கள்.

சாய்சதுரத்தின் பரப்பு = bh சதுர அலகுகள் என்பதில் b க்குப் பதிலாக   r என்றும் h என்பதற்கு r என்றும் பதிலிட்டால் r × r = r² சதுர அலகுகள் என்று கிடைக்கிறது அல்லவா! இதுதான் வட்டத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம். என்ன புரிகிறதா?

நாளையும் வட்டத்தின் பரப்பளவு குறித்துச் சிறிது பார்ப்போம். ஏனென்றால் வட்டத்தின் பரப்பளவு குறித்துத் தெரிந்து கொள்ள நிறைய விசயங்கள் இருக்கின்றன.

*****