இணைகரத்தின் பரப்பளவும் விரிகோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவும்

இணைகரத்தின் பரப்பளவும் விரிகோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவும்

ஒரு விரிகோண முக்கோணத்தைத் ஒரு செவ்வகத் தாளின் அடிப்பகுதி முழுவதும் முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கமாக வரும் வகையில் அமைக்க இயலாது.

தாளின் அடிப்பக்கம் முழுவதும் முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கமாக வருமாறு செங்கோண முக்கோணத்தையும் குறுங்கோண முக்கோணத்தையும்தான் அமைக்க இயலும். இப்போது நாம் என்ன செய்வது?

நாம் எடுத்துக் கொள்ளும் தாளில் (A4 தாள் அல்லது Legal Size தாள் அல்லது செவ்வக வடிவத் தாள் அல்லது செவ்வக வடிவ அட்டை) ஒரு சிறு மறுவடிவமைப்பைச் செய்து கொள்வோம்.

செவ்வகத் தாளின் இடது பக்கமாகப் படத்தில் காட்டிய வண்ணம் ஒரு கோட்டை வரைந்து அக்கோடு வழியே தாளை வெட்டி எடுத்து அதனை தாளின் வலது பக்கத்தோடு இணைத்துக் கொள்வோம்.

 

இப்போது தாளானது இப்படி இருக்கும்.

 

இப்போது நமக்குக் கிடைத்துள்ள தாள் இருக்கும் வடிவத்தைத்தான் இணைகர வடிவம் என்பார்கள். இதில் நாம் கவனிக்க வேண்டிய ஒன்று இருக்கிறது. செவ்வகத்தின் வடிவம்தான் இணைகரமாக மாறியிருக்கிறதே தவிர செவ்வக அளவில் இருந்த அளவில் அதாவது பரப்பளவில் ஏதாவது மாற்றம் இருக்கிறதா என்றால் இல்லைதானே?

இந்தப் பகுதியில் வெட்டி எடுத்ததை அந்தப் பகுதியில் இணைத்து விட்டோமே! பிறகெப்படி பரப்பளவில் மாற்றம் இருக்கும்? ஆகவே இங்கே செவ்வகத்தின் பரப்பும் இணைகரத்தின் பரப்பும் ஒரே அளவுதான். வடிவம் மாறியிருக்கிறதே தவிர வடிவம் அடைத்துக் கொள்ளும் பரப்பானது செவ்வகமாக இருந்த போதும் அதே அளவுதான், இணைகரமாக இருக்கும் போதும் அதே அளவுதான்.

விரிகோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் காண்பதற்கு முன்பாக நாம் இணைகரத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தைக் கண்டடைந்து விட்டோம் பாருங்கள்.

இங்கே,

செவ்வகத்தின் பரப்பு = இணைகரத்தின் பரப்பு என்பது சரிதானே.

இணைகரமாக எடுத்துக் கொள்ளும் போது செவ்வகத்தின் நீளமானது அதன் அடிப்பக்கமாக அதாவது b ஆக எடுத்துக் கொள்ளப்படும். அதே போல செவ்வகத்தின் அகலமானது இணைகரத்தின் உயரமாக அதாவது h ஆக எடுத்தக் கொள்ளப்படும். அதனால்,

செவ்வகத்தின் பரப்பான lb சதுர அலகுகள் என்பது இணைகரத்தின் பரப்பாகும் போது bh சதுர அலகாகி விடும். அதாவது l ஆனது b ஆகவும் b ஆனது h ஆகவும் ஆகி விடும். மாறிகளை நாம் வரையறுத்துக் கொண்டு மாற்றிக் கொள்ளலாம் என்பது உங்களுக்குத் தெரிந்ததுதானே.

செவ்வகத்தின் பரப்பு = lb = bh = இணைகரத்தின் பரப்பு என்று சொல்லலாம்தானே?

இங்கே இன்னொரு விசயத்தையும் நீங்கள் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

செவ்வகத்திற்குப் பரப்பு காணும் போது அடுத்தடுத்த பக்க அளவுகளைப் பெருக்கிக் கொண்டதைப் போல இணைகரத்தின் பரப்பைக் காணும் போது அடுத்தடுத்த பக்க அளவுகளைப் பெருக்கி விடக் கூடாது. ஏனென்றால் இங்கு பரப்பிற்காக நாம் எடுத்துக் கொள்வது அடிப்பக்கமும் உயரமும்தான். இணைகரத்தின் அடிப்பக்கமும் அதன் அருகில் உள்ள சாய்ந்த பக்கமும் அல்ல என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

சரிதான் என்கிறீர்களா? இன்னும் விரிகோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தை நாம் வருவிக்கவில்லை என்று நீங்கள் கேட்பது என் காதில் விழுகிறது.

இதோ அதற்கான வேலையை ஆரம்பித்து விடுவோம். அதற்காகத்தானே இவ்வளவு வேலைகளைப் பார்த்து வைத்திருக்கிறோம்.

இப்போது நாம் இணைகரமாக மாற்றி வைத்திருக்கும் செவ்வகத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்.

அதன் மூலைகளை இணைக்கும் வகையில் ஒரு மூலைவிட்டத்தைப் படத்தில் காட்டியபடி வரைந்து வெட்டி எடுங்கள்.

 

வெட்டியெடுத்த பகுதியைப் பொருத்திப் பாருங்கள். மேலே அமைந்த முக்கோணத்தை அப்படியே தலைகீழாகத் திருப்பி இடது வலமாக மாற்றிப் பொருத்துங்கள். ஒன்றோடொன்று பொருந்தி இரண்டு சம அளவில் உள்ள விரிகோண முக்கோணங்கள் கிடைக்கிறதா? இந்த இரண்டு சம அளவு விரிகோண முக்கோணங்கள்தானே சாய்சதுரத்தை அமைத்தன?

அப்படியானால் விரிகோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவில் பாதிதானே. அதாவது ½bh சதுர அலகுகள்தானே. இங்கே சாய்சதுரத்தின் அடிப்பக்கம் விரிகோண முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கமாகவும் சாய்சதுரத்தின் உயரம் விரிகோண முக்கோணத்தின் உயரமாகவும் அமைவதால் சூத்திரத்திற்கான மாறிகளில் எவ்வித மாற்றமும் செய்யாமலே நமக்கு முக்கோணத்தின் பரப்பு ½bh சதுர அலகுகள் என்று கிடைத்து விடுகிறது பாருங்கள்.

ஆனால் நீங்கள் முக்கோணத்தின் பரப்பு என்பது செவ்வகத்தின் பரப்பில் பாதி என்றல்லவா சொல்வீர்கள் என்று நீங்கள் கேட்பது என் காதுகளில் விழாமல் இல்லை.

நாம் அமைத்த இணைகரம் செவ்வகத்திலிருந்து பரப்பளவு மாறாமல் வெட்டி அமைத்த மறுவடிவம்தானே. இணைகரத்தின் பரப்பும் செவ்வகத்தின் பரப்பும் சமம் என்பதைப் பார்த்து விட்டுதானே நாம் விரிகோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் முயற்சியிலே இறங்கினோம்.

அதனால் நாம் சொன்னது சரிதானே? அதாவது முக்கோணத்தின் பரப்பு என்பது செவ்வகத்தின் பரப்பில் பாதி என்பது சரிதான்.

ஆக இதுவரை நாம் செங்கோண முக்கோணம், குறுங்கோண முக்கோணம், விரிகோண முக்கோணம் என்று மூவகை முக்கோணங்களையும் எடுத்துக் கொண்டு அதன் பரப்பளவானது செவ்வகத்தின் பரப்பில் பாதிதான் என்பதை நிரூபித்து விட்டோம்.

இதற்காக நாம் கடந்து வந்து பாதை நெடியதுதான் என்றாலும் சுவாரசியமான பாதை அல்லவா! அதுவும் விரிகோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு கண்டுபிடிக்கும் முயற்சியில் இணைகரத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தையும் கண்டுபிடித்து ஒரு கல்லில் இரண்டு மாங்காய்கள் அல்லவா அடித்திருக்கிறோம்.

அடுத்து நாம் எதைப் பார்க்க வேண்டும் என்று சொல்லுங்கள்! ஆம் சரியாகக் கண்டுபிடித்து விட்டீர்களே? அதை நாளை பார்ப்போம்.

*****