முக்கோணத்தின் பரப்பு எப்படி கிடைக்கிறது தெரியுமா?

முக்கோணத்தின் பரப்பு எப்படி கிடைக்கிறது தெரியுமா?

முக்கோணத்தின் பரப்பு எப்படிக் கிடைக்கிறது என்பதை அறிந்து கொள்வதற்காக உங்களை அளவுக்கதிகமாகவே காத்திருக்கச் செய்து விட்டேன். அந்தக் காத்திருப்பிலும் நன்மையே விளைந்தது. நாம் பல முக்கியமான கணித விசயங்களை அறிந்து கொண்டோம். அதனால் தற்போது முக்கோணத்தின் பரப்பு எப்படி கிடைக்கிறது என்பதை அறிந்து கொள்வதில் நுட்பமும் கூடி வருவதை நீங்களே அறிந்து கொள்வீர்கள்.

இப்போது ஒரு செவ்வகத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அதன் எதிரெதிர் மூலைகளை இணைக்கும் மூலைவிட்டம் ஒன்றை வரையுங்கள். இம்மூலைவிட்டக் கோடானது செவ்வகத்தை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கிறது என்பதையும் கவனியுங்கள்.

இப்போது மூலைவிட்டத்தின் வழியாக செவ்வகத்தைப் பிரித்தால் இரண்டு முக்கோணங்கள் கிடைக்கிறதா? மூலைவிட்ட கோடானது செவ்வகத்தைச் சமமாகப் பிரிப்பதால் இந்த இரண்டு முக்கோணங்களும் சமமானவை அல்லவா!

இதில் உங்களுக்குச் சந்தேகம் இருந்தால் ஒரு A4 தாளில் மூலைவிட்டக் கோடிட்டு அதை அவ்வழியே வெட்டி எடுத்து நீளத்தோடு நீளத்தையும் அகலத்தோடு அகலத்தையும் பொருத்திப் பாருங்கள். சமமாக இருக்கும்.

A4 தாள்தான் என்றில்லை, Legal தாளாக இருந்தாலும் சரிதான். அல்லது செவ்வகமான எந்த ஒரு தாளாக, அட்டையாக  இருந்தாலும் சரிதான். அதன் மூலைவிட்டத்தை வரைந்து பின் வெட்டி எடுத்துக் கொண்டு மேற்காணும் உண்மையை நீங்கள் சோதித்துப் பார்த்து விடலாம்.

இப்போது ஒரு செவ்வகத்தில் இரண்டு சம முக்கோணங்கள் அடங்கியிருப்பது உங்களுக்குத் தெரிகிறதல்லவா. அதனால் நாம் செவ்வகத்தின் பரப்பை இரண்டு சம முக்கோணங்களின் பரப்புகளாகக் குறிப்பிடலாம்தானே. அப்படியானால் முக்கோணத்தின் பரப்பைச் செவ்வகத்தின் பரப்பில் பாதியாகக் குறிப்பிடலாம்தானே. அதாவது

செவ்வகத்தின் பரப்பு = 2 × முக்கோணத்தின் பரப்பு

½ × செவ்வகத்தின் பரப்பு = முக்கோணத்தின் பரப்பு

இப்போது வலப்பக்கம் இருப்பதை இடப்பக்கமும் இடப்பக்கம் இருப்பதை வலப்பக்கமும் மாற்றிப் பாருங்கள்.

முக்கோணத்தின்  பரப்பு = ½ × செவ்வகத்தின் பரப்பு என்பது சரிதானே.

எனவே முக்கோணத்தின் பரப்பை ½lb சதுர அலகுகள் என்று சொல்லலாம்தானே. சரிதானே?

முக்கோணத்தைப் பொருத்த வரையில் செவ்வகத்தின் l ஐ அடிப்பக்கமாக எடுத்துக் கொள்வார்கள், செவ்வகத்தின் b ஐ உயரமாக எடுத்துக் கொள்வார்கள்.

இதென்ன புதுக்குழப்பம் என்று கேட்காதீர்கள். செவ்வகத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தில் l ம் b ம் மாறிகள் என்பதை நான் சொல்லவும் வேண்டுமோ? ஆகவே மாறிகளை நாம் வரையறுத்துக் கொண்டு மாற்றிக் கொள்ளலாம்தானே. இது மாறிகள் குறித்த வரையறையில் நாம் முன்பே பார்த்ததுதானே.

அதன்படி l ஐ முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கத்தைக் குறிக்கும் b ஆகவும், செவ்வகத்தின் b ஐ முக்கோணத்தின் உயரத்தைக் குறிக்கும் h ஆகவும் எடுத்துக் கொள்வோம். இப்போது முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம் எப்படி அமைகிறது பாருங்கள்.

முக்கோணத்தின் பரப்பு = ½bh சதுர அலகுகள் என அமைகிறதா? இதுதான் முக்கோணத்தின் பரப்பிற்கான சூத்திரம்.

நாம் செவ்வக வடிவ காகிதத்தை வைத்துச் செய்ததைச் சதுர வடிவ காகிதத்தில் வைத்துச் செய்தால் எப்படி இருக்கும் சொல்லுங்கள்? மூலைவிட்டம் வழியாக அமையும் முக்கோணங்களை நீங்கள் வெட்டி எடுக்க அவசியம் இல்லாமல் மூலைவிட்டம் வழியாக மடித்துப் பார்த்தாலே அவை இரண்டும் சமமாக இருப்பது தெரிந்து விடும். எங்கே செய்து பாருங்களேன்.

அப்போது முக்கோணத்தின் பரப்பு எப்படி அமையும்? அதாவது சதுரத்தின் பரப்பில் பாதிதானே? ½a² சதுர அலகுகள் என்றுதானே.

இந்த முக்கோணத்தில் சதுரத்தின் பக்கமே முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கமும் உயரமாகவும் அமைவதால் மாறிகளின் வரையறையின் படி நீங்கள் a ஐ b ஆகவோ அல்லது h ஆகவோ எடுத்துக் கொள்ளலாம். அப்படி எடுத்துக் கொண்டால் முக்கோணத்தின் பரப்பை ½b² சதுர அலகுகள் என்றோ அல்லது ½h² சதுர அலகுகள் என்றோ நீங்கள் எப்படி வேண்டுமானாலும் குறிப்பிடலாம். ஏனென்றால் இந்த நிலைமையில் b = h என்றாகி விடுகிறதல்லவா. இந்த முடிவுக்கு நாம் வருவதற்கு மாறிகள் பற்றிய நம் தெளிவான அறிவுதானே உதவுகிறது. அதற்காகத்தான் சில இடங்களில் நாம் சிலவற்றைச் சற்று விரிவாகப் பார்க்கிறோம் என்பதை இப்போது நீங்கள் புரிந்து கொள்வீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

இப்போது உங்களுக்கு ஒரு கேள்வி எழ வேண்டுமே? அதாவது நீங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை வைத்து முக்கோணத்தின் பரப்பானது செவ்வகத்தின் பரப்பில் பாதி என்று காட்டி விட்டீர்கள், இதுவே குறுங்கோண முக்கோணம், விரிகோண முக்கோணம் என்றாலும் அப்படித்தான் அமையுமா என்றுதானே கேட்கிறீர்கள். நிச்சயமாக அப்படித்தான் அமையும் என்பதை நான் முன்பே சொல்லி விட்டேன். இருந்தாலும் நிரூபணம் வேண்டுமல்லவா? அதை நாளை பார்ப்போம்.

*****