கணிதத்தில் மாறுவதும் மாறாததும்

கணிதத்தில் மாறுவதும் மாறாததும்

இயற்கணிதம் அதாவது அல்ஜீப்ரா என்றால் சிலருக்குத் தங்களையும் அறியாமல் ஒரு பயம் வந்து விடுகிறது. கணிதத்தின் கனக் கச்சிதமான வடிவங்கள் அவை. கணித விதிகளின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவங்கள் என்றும் சொல்லலாம்.

எண்களைப் பார்த்துக் கொண்டு வந்தவர்களுக்கு x, y என்று பார்க்கும் போது ஒருவித மிரட்சி ஏற்படலாம். அந்த மிரட்சி தேவையற்றது.

நம்மில் சிலருக்கு பார்க்கும் நாய்க்குட்டிகளையெல்லாம் ஜானி என்று பெயரிட்டு அழைக்கும் பழக்கம் இருக்கும். பூனைக்குட்டிகளையெல்லாம் நிம்மி என்று பெயரிட்டு அழைக்கும் பழக்கம் இருக்கும். அவர்களைப் பொருத்த வரை நாய்க்குட்டிகள் என்றால் ஜானிதான், பூனைக்குட்டிகள் என்றால் நிம்மிதான்.

இப்போது நாம் ஒரு கேள்வியை எழுப்புவோம். அவர் அழைப்பது நாய்க்குட்டியையா? ஜானியையா? இதென்ன கேள்வி என்கிறீர்களா? அவரைப் பொருத்த வரையில் நாய்க்குட்டிதான் ஜானி, ஜானிதான் நாய்க்குட்டி என்றுதானே பதில் சொல்வீர்கள். அதே போல அவருக்குப் பூனைக்குட்டிதான் நிம்மி, நிம்மிதான் பூனைக்குட்டி இல்லையா?

ஆனால் நாய்க்குட்டிகளில் எத்தனை வகைகள் இருக்கின்றன. குறிப்பாக நிறங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்களேன். கருப்பு நிற நாய்க்குட்டி, வெள்ளை நிற நாய்க்குட்டி, சாம்பல் நிற நாய்க்குட்டி, சிவப்பு நிற நாய்க்குட்டி என்று பல நிற நாய்க்குட்டிகள் இருக்கின்றன. ஆனால் அவர் நாய்க்குட்டியைப் பார்த்தால் எப்படி அழைப்பார்? ஜானி என்றுதானே அழைப்பார். இப்படி ஜானி என்று அவர் அழைப்பதைக் கணக்கில் கொண்டு வந்தால் நீங்கள் இயற்கணிதத்தைப் புரிந்து கொள்ளலாம்.

கணக்கில் நிறைய எண்கள் இருக்கின்றன என்பதை உங்களுக்குச் சொல்லத் தேவையில்லை. ஒவ்வொரு எண்ணாகச் சொல்லிக் கொண்டே போவது என்றால் வாழ்நாள் முழுவதும் சொல்லிக் கொண்டே போகலாம். இப்போது இயல் எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம். 1, 2, 3, 4, 5, …. இந்த எல்லா எண்களுக்கும் எந்த நாய்க்குட்டியைப் பார்த்தாலும் ஜானி என்று பெயர் அழைத்து போல ஓர் பெயரிட்டால் வசதியாக இருக்கும்தானே. இந்த எண்களை n எனப் பெயரிட்டு அழைக்கிறார்கள். ஜானி எனச் செல்லப் பெயர் வைத்து அழைப்பது போல அழைக்கிறார்கள் என்று நீங்கள் நினைத்துக் கொண்டாலும் சரிதான். இப்போது n என்றால் என்ன? அதுதான் 1, 2, 3, 4, 5, … இதில் ஏதோ ஓர் எண், இது கூடத் தெரியாதா என்று என் மீது கோபப்பட்டு விடாதீர்கள்.

அதே போல கணக்கில் தெரியாத எண்களை அதாவது விடை காண வேண்டிய எண்ணை எல்லாம் x என்று அழைக்கிறார்கள். என்ன இப்போது உங்களுக்குப் புரிந்து விட்டதா?

நாய்க்குட்டிக்கு மட்டும் விரிவாகச் சொல்லி விட்டு பூனைக்குட்டி பற்றி விரிவாகச் சொல்லாமல் விட்டு வீட்டீர்களே என்று நினைக்கிறீர்களே. அதைப் பற்றி பாரதியாரே பாடியிருக்கிறார். அவரை ஏன் இங்கு இழுக்குறீர்கள் என்கிறீர்களா? கணக்கு பிணக்கு ஆமணுக்கு என்று சொன்ன கவிஞர் இல்லையா அவர்? அதே நேரத்தில் அப்போது இருந்த இந்திய மக்கள் தொகை முப்பது கோடி என்று கணித எண்ணிக்கையைப் பாடலில் பாடியவரும் அவரல்லவா?

வெள்ளை நிறத்தொரு பூனை எங்கள் வீட்டில் வளருது கண்டீர் என்று பாரதியார் எழுதிய பாடலைப் படித்திருப்பீர்களே. அந்தப் பூனை பலவித வண்ணங்களில் குட்டிகள் ஈன்றிருப்பதைப் பாரதியார் பாடியிருப்பார். பாலின் வெள்ளை நிறமொரு குட்டி, சாம்பல் நிறமொரு குட்டி, பாம்பின் நிறமொரு குட்டி என்று பலவித நிறங்களில் இருக்கும் பூனைக்குட்டிகளை அந்தப் பாடலில் எழுதியிருப்பார். நாம் இப்போது அந்தப் பூனைக்குட்டிகளுக்கு இயற்கணித முறையில் பெயரிட வேண்டும் என்றால் நிம்மி என்றுதானே பெயரிட வேண்டும். அப்படித்தான் எண்களில் ஆங்கில எழுத்துகளைக் கொண்டு பெயரிட்டுக் கொள்கிறார்கள். அந்த எழுத்துகள் நாம் எப்படி வரையறுத்துக் கொள்கிறோமோ அப்படிப்பட்ட அத்தனை எண்களையும் குறிக்கும். அதாவது x ஒரு விகிதமுறு எண் என்றால் அது அத்தனை விகிதமுறு எண்களையும் குறிக்கும். அதே x ஐ ஒரு இயல் எண் என்றால் அது இயல் எண்களை மட்டுமே குறிக்கும். ½ என்ற விகிதமுறு எண்ணைக் குறிக்காது. என்ன குழப்புகிறீர்களே என்கிறீர்களா?

நாம் நாய்க்குட்டி, பூனைக்குட்டி கதைக்கு வந்தால் புரிந்து விடும். ஜானி என்பது பூனைக்குட்டியைக் குறிக்குமா? குறிக்காதுதானே. நிம்மி என்பது நாய்க்குட்டியைக் குறிக்குமா? குறிக்காததுதானே. ஏனென்றால் நாம் நாய்க்குட்டியைத்தான் ஜானி என்று அழைக்கிறோம். பூனைக்குட்டியைத்தான் நிம்மி என்று அழைக்கிறோம். ஆக நாம் எப்படி வரையறுத்துக் கொள்கிறோமோ அப்படி.

இல்லை அப்படி வேண்டாம். நாய்க்குட்டியை நிம்மி என்று வைத்துக் கொள்வோம், பூனைக்குட்டியை ஜானி என்று வைத்துக் கொள்வோம் என்றால் அந்த வரையறையை நாம் முன்பே சொல்லி விட வேண்டும். அதாவது கணக்கைத் துவங்கும் போதே அந்தச் செல்லப் பெயர் என்ன என்பதைச் சொல்லி விட வேண்டும். அப்படிச் சொல்லி விட்டால் நாய்க்குட்டிகளை நிம்மியாக வைத்துக் கொள்ளலாம், பூனைக்குட்டிகளை ஜானியாக வைத்துக் கொள்ளலாம். என்ன இப்போது புரிந்து விட்டதா?

அப்படியானால் இந்த x, y என்று வைத்துக் கொள்வதெல்லாம் நிரந்தரமில்லை, எப்படி வேண்டுமானாலும் மாற்றிக் கொள்ளலாம் போல இருக்கிறதே என்றுதானே சொல்கிறீர்கள். சரிதான். நீங்கள் சரியான இடத்தை வந்தடைத்து விட்டீர்கள். இந்தச் செல்லப் பெயர்கள் நிரந்தரமில்லை. நாமாக வைத்துக் கொள்வதுதான். கணிதத்தைப் பொருத்த வரையில் வரையறுத்துக் கொள்வதுதான். நான் x என்று வைத்துக் கொள்வதை, நீங்கள் y என்று வைத்துக் கொள்ளலாம், இன்னொருவர் z என்று வைத்துக் கொள்ளலாம். அதனால்தான் இவற்றை மாறக் கூடிய மதிப்புகள் என்ற பெயரில் மாறிகள் என்றே கணிதத்தில் அழைக்கிறார்கள். அதனால் இந்த மாறிகளை எப்படி வரையறுத்துக் வைத்துக் கொண்டோம் என்பதைச் சொல்லி விட வேண்டும்.

மீண்டும் அதே நாய்க்குட்டி கதையைச் சொன்னால் தெளிவாகப் புரிந்து விடும். ஒருவர் நாய்க்குட்டியை ஜானி என்று செல்லமாக அழைக்கலாம். இன்னொருவர் பப்பி என்று அழைக்கலாம். வேறொருவர் குட்டி என்றழைக்கலாம். எப்படி அழைத்தால் என்ன? நான் நாய்க்குட்டியை இப்படித்தான் அழைப்பேன் என்று சொல்லி விட்டால் விசயம் முடிந்தது.

நாய்க்குட்டி என்பது மாறாதது. பெயர்கள் மாறலாம். அதே போலத்தான் எண்கள் மாறாதது. அதற்கு வைத்துக் கொள்ளும் மாறிகளின் பெயர்கள் மாறக் கூடியது. அதற்குக் கொடுக்கும் மதிப்புகளும் மாறக் கூடியது. எண்கள் மாறாமல் இருப்பதால் அவை மாறாதது என்ற பொருளில் மாறிலி என்று அழைக்கிறோம். x, y, z என்று வைத்துக் கொள்ளும் பெயர்களும் மதிப்புகளும் மாறக் கூடியது என்பதால் மாறிகள் என்கிறோம்.

a, b, c, … என z வரையுள்ள அத்தனை எழுத்துகளும் மாறிகள்.

1, 2, 3, … எனத் தொடங்கி வளரும் எண்கள் மட்டுமல்லாது அத்தனை வகை எண்களும் மாறிலிகள்.

இந்த மாறிகளையும் மாறிலிகளையும் கொண்டு கோவைகளை அமைத்தால் அவை இயற்கணிதக் கோவைகள். சமன்பாடுகளை அமைத்தால் இயற்கணிதச் சமன்பாடுகள்.

என்ன திடீரென்று கோவைகள், சமன்பாடுகள் என்று புதிய வார்த்தைகளை விடுகிறீர்கள் என்கிறீர்களா?

கோவைகள் என்பது ஓர் அமைப்பைக் கோர்வையாகக் சொல்வதுதான்.

உதாரணமாக இரண்டு எண்களைக் கூட்டுகிறீர்கள். 2 + 3. இது ஒரு கோவை. இதையே மாறிகளை வைத்துச் சொன்னால் x + y.

சமன்பாடுகள் என்பது சமக்குறிக்கு இருபுறமும் கோவைகளைச் சமன்படுத்துவதுதான்.

இரண்டையும் மூன்றையும் கூட்டினால் 2 + 3 = 5 என்று வருகிறதா? இது ஒரு சமன்பாடு.

இதையே மாறியைப் பயன்படுத்திச் சொன்னால் x + y = 5. இது ஒரு சமன்பாடு. சமக்குறி வந்து அதன் இரு புறமும் சமன்படுத்தினால் அது சமன்பாடு. அவ்வளவுதான்.

நேற்று எங்களிடம் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவுக்கான சூத்திரங்களைப் பற்றிப் பார்ப்பதாகச் சொல்லி விட்டு இப்படி மாறிகளையும் மாறிலிகளையும் சொல்லிக் கொண்டு இருக்கிறீர்களே என்று நீங்கள் கேட்பது எனக்குப் புரிகிறது. சூத்திரங்களின் இயற்கணித வடிங்களைப் புரிந்து கொள்வதற்கு இவை அடிப்படைகள் என்பதால் உங்கள் நேரத்தை அதிகப்படியாக எடுத்துக் கொண்டு சற்று விரிவாகச் சொல்லி விட்டேன் என்று நினைக்கிறேன். அதனாலென்ன நாளை சூத்திரங்கள் பக்கம் சென்று விடுவோம்.

*****