பக்கங்களைப் பெருக்குவதன் மூலமாக வட்டத்தின் பரப்பு காண்பது எப்படி?

பக்கங்களைப் பெருக்குவதன் மூலமாக வட்டத்தின் பரப்பு காண்பது எப்படி?

வட்டத்தின் பரப்பளவை அடுத்துள்ள பக்கங்களைப் பெருக்குவதன் மூலமாகக் கண்டுபிடிக்க இயலாமல் இருப்பது ஏமாற்றம் அளிப்பதாகச் சில கணித அன்பர்கள் அலைபேசி வாயிலாகக் கருத்துகளைப் பகிர்ந்து கொண்டனர். அதெப்படி அப்படி ஒரு முறை இல்லாமல் இருக்க முடியும் என்றும் அவர்கள் கேள்வி எழுப்பினர்.

மேலும் அவர்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட கணித உண்மையை வைத்து பல்வேறு கணித உண்மைகளை வருவிக்க முடியும் என்று நான் கூறியதை வைத்து பக்கங்களைப் பெருக்குவதன் மூலமாக வட்டத்தின் பரப்பளவை எப்படி காண முடியாமல் இருக்க முடியும் என்று என்னை மடக்கியும் விட்டனர்.

அந்தக் கணித அன்பர்கள் கேட்பதும் நியாயம்தானே. வட்டத்திற்குப் பக்கம் இல்லாவிட்டால் என்ன? வட்டத்தை ஒரு சதுரத்திற்குள் அடக்கி விட்டால் சதுரத்திற்குள் அடங்கிய வட்டத்திற்குப் பக்கம் கிடைத்து விடும்தானே.

சதுரத்தின் பரப்பைக் கண்டுபிடித்து பிறகு அதனுள் இருக்கும் வட்டத்தின் பரப்பிற்கு ஒரு விகிதத்தைக் கண்டுபிடித்து விட்டால் நாம் நினைத்தபடி பக்கங்களைப் பெருக்குவதன் மூலாமாக வட்டத்திற்கும் பரப்பளவு கண்டறியலாம். ஆனால் இங்கு வட்டத்திற்குப் பக்கங்கள் கிடையாது என்பதால் சதுரத்தின் பக்கங்களைத்தான் எடுத்துக் கொள்கிறோம் என்பதை மறந்து விடக் கூடாது. அப்படி எடுத்துக் கொண்டு சதுரத்திற்குள் அமைந்திருக்கும் வட்டத்திற்கு ஒரு விகிதாசாரத்தைக் கண்டறிந்து கொள்கிறோம் என்பதை எப்போதும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

இப்போது அப்படிச் செய்து பார்ப்போமா? எப்படி? அதுதான் சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களையும் தொட்டுக் கொண்டிருக்கும் வகையில் கச்சிதமாக ஒரு வட்டத்தை வரைந்து கொள்வோம். அதாவது கீழே உள்ள படத்தில் காட்டியபடி,

நாம் வரைந்துள்ள இந்த வட்டத்தின் விட்டமும் சதுரத்தின் பக்கமும் சமம்தானே?ஆமாம் அதிலென்ன சந்தேகம் என்கிறீர்களா?

வட்டத்தின் விட்டம் என்பது ஆரங்களின் இரு மடங்குதானே? ஆமாம் அதிலும் என்ன சந்தேகம் என்கிறீர்களா? அப்படியானால் வட்டத்தின் விட்டம் d = 2r = a அலகுகள் என்று சொல்லலாம்தானே? அதாவது வட்டத்தின் விட்டமான இரு மடங்கு ஆரமும் சதுரத்தின் பக்கமும் சமம் என்று சொல்லலாம்தானே? ஆமாம் அதிலும் என்ன சந்தேகம் என்கிறீர்களா?

அப்படியானால் நமக்கு வேலை முடிந்து விட்டது.

இப்போது சதுரத்தின் பரப்பு என்ன? அதாவது வட்டத்தின் இரு மடங்கு ஆரத்தை அதாவது 2r ஐப் பக்கமாக அதாவது a ஆகக் கொண்டுள்ள சதுரத்தின் பரப்பானது பக்கம் × பக்கம் என்ற சூத்திரத்தின்படி 2r × 2r = 4r² சதுர அலகுகள்தானே?

இந்த 4r² சதுர அலகுகள் என்பதற்கு என்ன பொருள் சதுரத்திற்குள் r அலகு பக்கம் கொண்டு நான்கு சதுரங்கள் இருக்கின்றன என்பதுதானே. அதாவது நாம் வரைந்த படத்தில் குறுக்கும் நெடுக்குமாக வட்டத்திற்கு இரண்டு விட்டங்கள் போட்டால் உங்களுக்குப் புரிந்து விடும். அதைக் கீழே உள்ள படத்தில் நீங்களே பாருங்கள்.

ஆமாம் சரிதான் என்கிறீர்களா? இப்போது சதுரமானது வட்டத்தின் ஆரங்களால் நான்கு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளதா? ஒவ்வொரு சம பாகமும் r பக்க அளவு கொண்ட சதுரம்தானே. உள்ளே நான்கு சிறு சதுரங்கள் இருப்பதால் நான்கின் பரப்பும் 4r² சதுர அலகுகள் என்பது சரிதானே?

சதுரம் மட்டுமா நான்கு சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது? வட்டமும்தானே? வட்டத்தின் நான்கு சம கால் பாகங்களின் பரப்பும் நான்கு சமபாகச் சதுரத்திற்குள் அமைந்துள்ளன. அப்படியானால் அதனுடைய பரப்பு 4r² சதுர அலகுகள் என்பதற்குக் குறைவாக இருக்கும். அதாவது 3r² சதுர அலகுகள் என்பதற்கும் 4r² சதுர அலகுகள் என்பதற்கும் இடையில் ஏதோ ஒரு விகிதத்தில் இருக்கும்.

அந்த விகிதம் எது என்பதைத் தீர்மானிக்கத்தான் நாம் வட்டத்தோடு தொடர்புடைய    என்ற மாறிலியைப் பயன்படுத்தப் போகிறோம். ஆகா இப்போது புரிந்து விட்டது என்கிறீர்களா? சரிதான், சதுரத்திற்குள் இருக்கும் நான்கு சம பாக கால் வட்டங்களின் பரப்பானது 3.14 × r² என்பதாக இருக்கும். அதாவது வட்டத்திற்கு வெளியே அமையும் சதுரத்தின் பரப்பைக் கழித்து விட்டால் அந்த அளவில்தான் அமையும். கழிக்கும் அந்த அளவின் பரப்பானது தோராயமாக 0.86 r² ஆக இருக்கும்.

அட இப்போது புரிந்து விட்டதே என்கிறீர்களா? ஆக 3.14 r² என்பதை r² சதுர அலகுகள் என்றுதானே சொல்வோம். அவ்வளவுதான் ஒரு சதுரத்திற்குள் வட்டத்தை அடக்கிக் கொண்டு அதன் மூலமாக அடுத்துள்ள பக்கங்களைப் பெருக்கி வட்டத்தின் பரப்பளவிற்கான சூத்திரத்திற்குள் நாம் வந்து விட்டோம் பார்த்தீர்களா?

ஆகா, ஒரு கணித உண்மையை வைத்துக் கொண்டு பல்வேறு கணித உண்மைகளை நாம் வருவிக்க முடியும் என்று சொன்னதில் எந்தத் தவறும் இல்லைதானே?

அவ்வளவுதானே, வட்டத்தின் பரப்பு குறித்த அனைத்தும் முடிந்து விட்டதா என்று நீங்கள் கேட்பது இப்போது எனக்குக் கேட்கிறது.

அதற்கு முன் வட்டத்தின் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவு குறித்து ஒரே ஒரு கணக்கை மட்டும் சொல்லி விட்டு நாம் அடுத்ததாக நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் முறை குறித்துப் பார்க்கலாம். அப்படியானால் அதை நாம் நாளைக்குப் பார்ப்போம் என்று நீங்கள் சொல்வது எனக்குக் கேட்காமல் இருக்குமா என்ன? சரி, நாளையே பார்த்து விடுவோம்.

*****