எதிர் விகிதம் குறித்த அடிப்படைக் கணித உண்மைகள்

எதிர் விகிதம் குறித்த அடிப்படைக் கணித உண்மைகள்

இன்று எதிர் விதிகம் குறித்த அடிப்படைக் கணித உண்மைகளைக் கண்டறிவோம்.

அதற்கு முன்பாக நேர் விதிகம் என்பது பின்ன வடிவிலானது என்பதையும் எதிர் விகிதம் என்பது பெருக்கற்பலன் வடிவிலானது என்பதை நாம் எப்போதும் நினைவில் கொள்வோம். அதனால் எதிர் விகித உறுப்புகளை நாம் காரணிகள் என்றே அழைப்போம். அதாவது இரு பெருக்கற் காரணிகளின் பலன் என்பதைக் குறிக்கும் வகையில் அவ்வாறே அழைப்போம்.

48 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம். இதன் பெருக்கற் காரணிகளை எப்படியெல்லாம் எழுதலாம்?

1 × 48 = 48

2 × 24 = 48

3 × 16 = 48

4 × 12 = 48

6 × 8 = 48

8 × 6 = 48

12 × 4 = 48

16 × 3 = 48

24 × 2 = 48

48 × 1 = 48

இவ்வளவு வழிகளில் எழுதலாமா என்று நீங்கள் ஆச்சரியப்படுவது தெரிகிறது. ஆம், இவ்வளவு வழிகளில் எழுதலாம்தானே?

இப்போது இவற்றை நாம் நேர் விகிதத்தில் நாம் அட்டவணைப் படுத்தியது போல எதிர் விகிதத்திற்காகவும் அட்டவணைப்படுத்தப் போகிறோம். அப்படி அட்டவணைப்படுத்தும் போது தொகுதி என்று குறிப்பிட்டதை நாம் காரணி 1 என்றும் பகுதி என்று குறிப்பிட்டதை காரணி 2 என்றும் குறிப்பிட்டுக் கொள்வோம். ஏனென்றால் எதிர் விகிதத்தில் பின்ன அமைப்பை நாம் பெருக்கற் காரணியாகத்தான் அமைத்துக் கொள்ள வேண்டும். அதுதானே எதிர் விகிதமும் கூட. அதாவது நேர் விகிதத்திற்கு எதிராக எழுதும் முறையும் கூட.

காரணி 1	1	2	3	4	6	8	12	16	24	48
காரணி 2	48	24	16	12	8	6	4	3	2	1

அட்டவணையைக் கவனித்தீர்களா?

இடமிருந்து வலமாகப் பார்க்கும் போது அதாவது இங்கிருந்து அங்கு பார்க்கும் போது காரணி 1 இல் இருப்பவை அதிகரித்துக் கொண்டே போகின்றன. காரணி 2 இல் இருப்பவைக் குறைந்து கொண்டே போகின்றன. அதாவது காரணி 1 இல் உள்ளவை அதிகரிக்க அதிகரிக்க காரணி 2 இல் உள்ளவை குறைந்து கொண்டே போகின்றன.

இதை அப்படியே வலமிருந்து இடமாகப் பார்த்தால் அதாவது அங்கிருந்து இங்கு பார்த்தால் காரணி 1 இல் இருப்பவை குறைந்து கொண்டேயும் காரணில் 2 இல் இருப்பவை அதிகரித்துக் கொண்டேயும் வருகின்றன அல்லவா? இதுதானே எதிர் விகிதத்திற்கான பண்பு என முன்பே அறிந்து வைத்திருக்கிறோம்.

எதிர் விகிதத்தைப் பொருத்த வரையில் ஓர் உறுப்பில் உள்ளவை அதிகரித்துக் கொண்டே போனால் இன்னோர் உறுப்பில் உள்ளவை குறைந்து கொண்டே போக வேண்டும். அல்லது ஓர் உறுப்பில் உள்ளவை குறைந்து கொண்டு போனால் இன்னோர் உறுப்பில் உள்ளவை அதிகரித்துக் கொண்டே போக வேண்டும். இப்பண்பை நான் மீண்டும் மீண்டும் வேறு வேறு வாக்கியங்களில் கூறக் காரணம், இப்பண்பை நீங்கள் எப்போதும் மனதில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும் என்பதற்காகத்தான். ஏற்கனவே மனதில் வைத்துக் கொண்ட பண்புதானே என்கிறீர்களா? அதுவும் சரிதான்.

இப்போது நாம் அட்டவணையில் உள்ளதை பின்ன வடிவில் அமைக்காமல் பெருக்கற்பலன் காணும் முறையில் அமைக்க வேண்டும்.

அதாவது

1 × 48

 2 × 24 என்பதாக.

நீங்கள் இப்போது எந்த இரண்டு காரணி சோடிகளைப் பெருக்கினாலும் விடை 48 தான் வரும். ஆம் நாம் இந்த அட்டவணையை 48 இன் காரணிகளை உருவாக்கிக் கொண்டு அமைத்ததால் அப்படித்தான் அமையும் என்கிறீர்களா? ஆம் சரிதான். ஆனால் இதுதான் எதிர் விகிதம் குறித்து நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டிய அடிப்படையான கணித உண்மை.

அத்துடன் எந்த இரண்டு சோடிகளை எடுத்துச் சமன்படுத்தினாலும் பெருக்கற்பலன் ஒரே மாதிரியாகத்தான் இருக்கும்.

1 × 48 = 2 × 24 = 48 என்றுதானே வருகிறது. ஆம் அப்படித்தானே வர வேண்டும் என்கிறீர்களா? அதுவும் சரிதான்.

இதை மாறிகளைக் கொண்டு குறிப்பிட வேண்டும் என்றால் x × y = ஒரு மாறிலி அதாவது a constant என்றுதானே குறிப்பிட வேண்டும்.

ஆக நேர் விதிகம் என்றால் x / y = ஒரு மாறிலி என்று அமைவது எதிர் விகிதம் எனும் போது x × y = ஒரு மாறிலி அமைகிறது பார்த்தீர்களா? இந்த அடிப்படை வேறுபாட்டை எப்போதும் நீங்கள் மனதில் கொள்ள வேண்டும்.

இவ்வளவுதான் நாம் எதிர்விதிகம் குறித்து அறிந்து கொள்ள வேண்டியவை. இதுவரை நாம் அறிந்து கொண்டதைத் தொகுத்துப் பார்த்து விடுவோமா?

1.      எதிர் விகிதம் என்பது இரண்டு காரணிகளில் ஒன்று அதிரிக்கும் போது மற்றொன்று குறையும். அல்லது இரண்டு காரணிகளில் ஒன்று குறையும் போது மற்றொன்று அதிகரிக்கும்.

2.      எதிர் விகிதத்தில் எந்த இரு காரணிகளின் பெருக்கற்பலனும் ஒரு மாறிலியாகத்தான் இருக்கும்.

3.      எதிர் விகிதத்தில் எந்த இரண்டு பெருக்கற்பலன்களைச் சமன்படுத்தினாலும் அவை சமமாக இருக்கும்.

நாளை எதிர் விகிதத்தின் வாழ்வியல் பயன்பாடுகளைப் பார்ப்போம்.

*****