வர்க்கங்களின் கூடுதலும் கனங்களின் கூடுதலும்

வர்க்கங்களின் கூடுதலும் கனங்களின் கூடுதலும்

வர்க்கங்களின் தொடர் வரிசைக் கூடுதலை எப்படிக் காண்பது என்ற வினா உங்கள் மனதில் ஓடிக் கொண்டிருக்கும்.

ஒரு சிறிய வர்க்க எண்தொடர் வரிசை எடுத்துக் கூட்டிப் பார்த்திருப்பீர்கள் என்று நினைக்கிறேன்.

இப்போது ஒரு வர்க்க எண்தொடர் வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்.

1² + 2² + 3² + 4² + 5²

இந்த வர்க்க எண் தொடர்வரிசை 5 இல் முடிகிறதா?

இந்த 5 ஓர் எண். இதற்கு அடுத்த எண் 6 தானே. அது மற்றோர் எண். 5 இன் இருமடங்குடன் ஒன்றைக் கூட்டி எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். 5 × 2 + 1 = 11. இந்த 11 மற்றோர் எண்.

அதாவது

தொடர் வரிசையின் இறுதி எண் (வர்க்கப்படுத்திய எண் அல்ல. வர்க்கப்படுத்த வேண்டிய எண்)	5
அதன் அடுத்த எண்	6
இறுதி எண்ணின் இரு மடங்குடன் ஒன்றைக் கூட்டி வரும் எண்	5 × 2 + 1 = 11

இப்போது இந்த மூன்று எண்களையும் பெருக்கி அதை ஆறால் வகுத்து விடுங்கள்.

மூன்று எண்களையும் பெருக்கினால் 5 × 6 × 11 = 330

330 ஐ ஆறால் வகுத்தால் 330 / 6 = 55

இந்த 55 தான் கூட்டுத்தொகை.

சரியாக இருக்கிறதா என்பதைப் பார்த்து விடுவோம்.

1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

சரியாக இருக்கிறது அல்லவா!

இனி நீங்கள் வர்க்க எண்களின் கூடுதலை எளிமையாகக் கண்டுபிடித்து விடலாம் அல்லவா.

இதற்கான ஒரு சூத்திரத்தை உருவாக்கிக் கொண்டால் வேலை எளிதாக இருக்கும். வர்க்க எண்களின் தொடர் வரிசை n இல் முடிவதாக வைத்துக் கொள்வோம். அதாவது இப்படி 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n²

இப்போது அதற்கான சூத்திரம் இப்படி அமையும் (n (n + 1) (2n + 1))/6

இங்கு ஒரே ஒரு விசயத்தை மட்டும் நினைவில் கொள்ளுங்கள். n என்பது வர்க்கம் அல்ல. வர்க்கப்படுத்த வேண்டிய எண். அதாவது n²தான் வர்க்கம். n வர்க்கப்படுத்த வேண்டிய எண்.

இப்போது நாம் கண்டறிந்த சூத்திரத்தை இப்படி எழுதிக் கொள்ளலாம்தானே?

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + … + n² = (n (n + 1) (2n + 1))/6

அடுத்து கன எண் தொடர் வரிசையின் கூடுதல் காண்பதற்கான முறையை எப்படிக் கண்டறிவது என்று நீங்கள் கேட்பது என் காதுகளுக்குக் கேட்கிறது. அதையும் இன்றே பார்த்து விடுவோம்.

முதல் 5 கன எண்களின் எண் தொடர் வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம்.

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³

அது அப்படியே இருக்கட்டும். இப்போது ஒன்றிலிருந்து ஐந்து வரையுள்ள சாதாரண எண் தொடர்வரிசையின் கூடுதல் உங்களுக்குத் தெரியும்தானே.

அதாவது

1 + 2 + 3 + 4 + 5 இன் கூடுதல்

நாம் ஏற்கனவே பார்த்ததுதானே.

ஐந்தில் முடிவதால் ஐந்தையும் அதற்கு அடுத்த எண்ணான ஆறையும் பெருக்கி இரண்டால் வகுக்க வேண்டும். (n(n + 1))/2 என்ற சூத்திரப்படி (5 × 6)/2 = 15 வரும் அல்லவா. இந்த 15 ஐ வர்க்கப்படுத்தி விடுங்கள். 225 வரும் அல்லவா. இந்த 225 தான் 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³  என்ற எண் தொடர்வரிசையின் கூடுதல். என்ன ஆச்சரியமாக இருக்கிறதா? அப்படியானால் கூட்டிப் பார்த்து விடுவோம்.

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 சரியாகத்தான் வருகிறது அல்லவா.

ஆக நீங்கள் கன எண் தொடர்வரிசையைக் கூட்ட வேண்டுமானால் அதன் சாதாரண எண் தொடர்வரிசையின் கூடுதலைக் கண்டு அதை வர்க்கப்படுத்தினால் போதும். பாருங்கள் கணக்குகளில் எவ்வளவு ஆச்சரியங்கள் பொதிந்துள்ளன.

இப்போது இதற்கான சூத்திரத்தை நீங்களே சொல்லி விடுவீர்களே. ஆம் சரிதான்.

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + … + n³ = (n(n + 1)/2)²

இப்படி நாம் எண்தொடர் வரிசைகளைப் பற்றி நிறைய பார்த்துக் கொண்டே போகலாம். நேரம் போவதே தெரியாது.

இந்த எண்தொடர் வரிசைகளின் கூடுதலை நாம் எண்களைக் கூட்டிப் பார்த்து அந்த எண்களுக்கும் கூடுதலுக்கும் உள்ள தொடர்பைக் கொண்டு ஒரு சூத்திரத்தை வடிவமைத்துக் கொண்டோம்.

நீங்கள் தேர்ந்த ஒரு கணித மாணவராக உருவாக நினைத்தால் இதைத் தாண்டியும் ஒரு சில கணித நுட்பங்களைக் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும். அந்தக் கணித நுட்பம்தான் இயற்கணிதம்.

அப்படியானால் அதைப் பற்றியும் பேசுவோமா என்கிறீர்களா? அதைப் பற்றித்தான் இனி பேச வேண்டும்.

இயற்கணிதம் என்ற உடன் ஒரு சிலருக்குத் தயக்கமும் பயமும் இருக்கலாம். அப்படி ஒரு பயமும் தயக்கமும் உங்களுக்கு வேண்டவே வேண்டாம். ஏனென்றால் நீங்கள் சுற்றளவு மற்றும் பரப்பளவுக்காகப் படித்து மனதில் பதிய வைத்துக் கொண்டிருக்கும் அத்தனை சூத்திரங்களும் இயற்கணித வடிவங்கள்தான். அதனால் அந்தச் சூத்திரங்களைப் பற்றி முதலில் பார்த்து விட்டு நாம் இயற்கணிதம் பற்றிப் பார்க்கலாம்.

நாளை சுற்றளவு பரப்பளவுக்கான சூத்திரங்களுக்குத் தயாராக இருங்கள்.

*****