வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?

வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பற்றி பார்த்து விட்டதால் அடுத்து நாம் பார்க்க வேண்டியது முக்கோணத்தின் சுற்றளவுதானே என்று நீங்கள் கேட்பது புரிகிறது. ஆம் அதுவேதான்.

முக்கோணத்தின் சுற்றளவை நீங்கள் மிக எளிமையாகக் கண்டறிந்து விடலாம். அது குறித்து நீங்களே கூறி விடுவீர்கள். மூன்று பக்க அளவுகள் தெரிந்தால் போதும். மூன்றையும் கூட்டி விட வேண்டியதுதான். அது ஓர் எளிமையான கூட்டல் கணக்குதானே.

இருந்தாலும் முறையாகப் பார்த்து விடுவோம் என்றுதானே சொல்கிறீர்கள். சரி பார்த்து விடுவோம்.

சமபக்க முக்கோணம் என்றால் மூன்று பக்க அளவுகளும் சமமாக இருக்கும். அதனால் அதன் ஒரு பக்க அளவை மூன்றால் பெருக்கினால் போதுமானது. உதாரணமாக அதன் பக்க அளவை a என்ற மாறியினால் குறித்தால் சமபக்க முக்கோணத்தின் சுற்றளவு 3a அலகுகள் என்று அமையும்.

இருசமபக்க முக்கோணம் என்றால் சம பக்கத்தை a என்றும் சமமில்லாத பக்கத்தை b என்றும் மாறிகளால் குறித்தால் அதன் சுற்றளவு 2a + b அலகுகள் என அமையும்.

அசமபக்க முக்கோணம் என்றால் மூன்று பக்க அளவுகளும் சமமில்லாமல் இருப்பதால் அதன் பக்க அளவுகளை a, b, c என மாறிகளால் குறித்தால் அதன் சுற்றளவானது a + b + c அலகுகள் என அமையும்.

இப்போது நாம் சதுரம், செவ்வகம், முக்கோணம் என்று மூவகை வடிவங்களின் சுற்றளவு, பரப்பளவு பற்றி நன்றாகத் தெரிந்து கொண்டோம். அத்துடன் கூடுதாக இணைகரத்தின் பரப்பளவு பற்றியும் தெரிந்து கொண்டிருக்கிறோம். அடுத்தது என்ன? வட்டம்தானே?

வட்டத்தின் சுற்றளவிலிருந்து தொடங்குவோம். எப்படி வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கான சூத்திரத்தைக் கண்டடைவது?

வட்டம் குறித்து உங்களுக்கு நன்றாகத் தெரியும். அது மேரி பிஸ்கெட் போல இருக்கும். அம்மா சுடும் தோசை போல இருக்கும். அக்கா, தங்கைகள் கையில் அணிந்திருக்கும் வளையல்கள் போல இருக்கும்.

வட்டத்தை நாம் கவராயத்தில் பென்சிலைப் பொருத்தி வரையலாம் அல்லவா. அப்படி வரையும் போது கவராயத்தின் முனை படும் புள்ளி இருக்கிறதே அதுதான் வட்டத்தின் மையம் என்றும், அந்த மையத்திலிருந்து நாம் வரையும் வட்டம் வரையுள்ள தூரம்தான் ஆரம் என்றும் உங்களுக்கு நன்றாகவே தெரியும் அல்லவா.

இப்போது கவராயத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் வட்டம் போட்டு விட்டால் அந்த வட்டம்தான் வட்டத்தின் பரிதி என்று சொல்லப்படுகிறது. அதாவது வட்டத்தின் சுற்றளவு.

கவராயத்தின் முனை பட்ட புள்ளி அதாவது வட்டத்தின் மையம் இருக்கிறதே, அதன் வழியாக வட்டத்தின் இரு புறத்தையும் இணைக்கும் வகையில் ஒரு கோடு வரைந்தால் அதுதான் விட்டம். அதாவது வட்ட மையத்திலிருந்து இருபுறமும் இரண்டு ஆரங்கள். அப்படித்தானே கணக்கு.

அதாவது ஒரு விட்டம் போட்டால் போதும் அது இரண்டு ஆரம் வரைந்ததற்குச் சமம். அதனால் விட்டம் = 2 × ஆரம் என்று சொல்லலாம்தானே?

இதை எதற்குச் சொல்கிறீர்கள் என்று கேட்கிறீர்களா? அங்குதானே விசயம் இருக்கிறது. நாம் வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கான சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டுமல்லவா.

சதுரம், செவ்வகம், முக்கோணம் போன்றவற்றில் பக்க அளவைத் துல்லியமாக அளந்து விடலாம். அப்படி அளந்த அளவுகளைக் கூட்டிச் சுற்றளவைக் கணக்கிட்டு விடலாம். கணக்காகக் கேட்கும் போது பக்க அளவுகளைக் கொடுத்து விடுவார்கள். நாம் கூட்டிப் பார்த்துச் சுற்றளவைக் கூறி விடலாம்.

வட்டத்தில் என்ன செய்வது? அதற்குப் பக்கமே இல்லையே. எப்படி அளப்பது? எதை பக்கமாக வைத்துக் கொள்வது? பக்க அளவுகள் கொடுக்காமல் எப்படிச் சுற்றளவு கண்டுபிடிப்பது?

வட்டத்தைப் பொருத்த மட்டில் நமக்குத் தெரிந்த அளவு என்றால் அதன் ஆரம் ஒன்றுதான். அந்த ஆரத்தை இரண்டு முறை பெருக்கி நாம் விட்டத்தைக் கணக்கிட்டுக் கொள்ளலாம். அவ்வளவுதான் நமக்குத் தெரியும். இதை வைத்துக் கொண்டு நாம் எப்படி சுற்றளவைக் கண்டுபிடிப்பது?

இதற்கு நாம் இப்போது ஒரு முறையைக் கையாளப் போகிறோம்.

இப்போது நீங்கள் என்ன செய்யப் போகிறீர்கள் தெரியுமா?

கவராயத்தையும் பென்சிலையும் வைத்துக் கொண்டு உங்களுக்கு விருப்பம் போல எந்த அளவில் வேண்டுமனாலும் எத்தனை வட்டங்கள் வேண்டுமானாலும் வரைந்து கொள்ளுங்கள்.

வரைந்து கொண்ட ஒவ்வொரு வட்டத்தின் ஆரத்தையும் இரண்டால் பெருக்கி வைத்துக் கொள்ளுங்கள். அத்துடன் நீங்கள் வரைந்து வட்டங்களின் சுற்றளவை நூல் கொண்டு அதன் பரிதியில் பொருத்திப் பார்த்து அதை அப்படியே அளவுகோலில் வைத்து எவ்வளவு அளவு வருகிறது என்று பார்த்துக் கொள்ளுங்கள்.

வட்டத்தின் சுற்றளவு காண்பதற்கு இப்படித்தான் நூலைப் பிடித்துக் கொண்டு அலைய வேண்டுமா என்று கேட்டு விடாதீர்கள். சற்று பொறுங்கள். அதற்கான ஒரு சூத்திரத்தை உருவாக்கி விடுவோம். அதன் பிறகு நமக்கு நூலும் தேவியில்லை, எதுவும் தேவையில்லை.

இப்போது நீங்கள் என்ன செய்ய வேண்டும் என்றால் நீங்கள் வரைந்துள்ள வட்டங்கள் ஒவ்வொன்றின் ஆரத்தின் இரு மடங்கையும் நூல் கொண்டு அளந்து சுற்றளவையும் இப்படிப் பட்டியலிட்டுக் கொள்ளுங்கள். பட்டியலிட்டு சுற்றளவுக்கும் ஆரத்தின் இரு மடங்குமான விகிதத்தையும் கணக்கிட்டுப் பட்டியலில் சேர்த்துக் கொள்ளுங்கள். அல்லது நீங்கள் பல அளவுள்ள வளையல்களை அளந்து கொண்டு அட்டவணையை நிரப்பினாலும் சரிதான். உங்களுக்கு எது வசதியோ அப்படிச் செய்து கொள்ளுங்கள்.  

வட்டம்	ஆரத்தின் இரு மடங்கு	நூல் கொண்டு அளந்த சுற்றளவு	சுற்றளவு / இரு மடங்கு ஆரம்
முதல் வட்டம்
இரண்டாம் வட்டம்
மூன்றாம் வட்டம்
நான்காம் வட்டம்
ஐந்தாம் வட்டம்

 

நீங்கள் எத்தனை வட்டங்கள் வரைந்துள்ளீர்களோ அத்தனை வட்டங்களையும் இது போல அட்டவணையிட்டுப் பட்டியலிட்டு நாம் கண்டுபிடிக்கச் சொன்ன விகிதத்தைக் கண்டுபிடித்துக் கொள்ளுங்கள்.

இப்போது நீங்கள் கண்டுபிடித்த சுற்றளவுக்கும் ஆரத்தின் இரு மடங்குக்கும் உள்ள விகிதம் தோராயமாக 3.14 க்கு அருகில் அமைகிறதா?

அப்படித்தான் அமையும்.

இந்த விகிதத்தை வைத்துத்தான் நாம் இப்போது வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கான சூத்திரத்தை வருவிக்கப் போகிறோம். அதாவது,

வட்டத்தின் சுற்றளவு / ஆரத்தின் இரு மடங்கு = 3.14

இப்போது சமக்குறியின் இந்தப் பக்கம் வகுத்தலாக உள்ள ஆரத்தின் இரு மடங்கை சமக்குறிக்கு வலப்பக்கமாக பெருக்கலாகக் கொண்டு செல்லுங்கள். அதாவது குறுக்குப் பெருக்கலாக.

அப்படியானால் வட்டத்தின் சுற்றளவு = 3.14 × ஆரத்தின் இரு மடங்குதானே

வட்டத்தின் ஆரத்தை Radius என்ற ஆங்கிலச் சொல்லின் முதல் எழுத்தான r ஆல் குறிப்பிடுகிறார்கள். இதனால் ஆரத்தை r எனும் மாறியாக எடுத்துக் கொண்டால்

வட்டத்தின் சுற்றளவு = 3.14 × 2r அல்லவா?

3.14 என்ற மதிப்பை 22/7 எனவும்  எனவும் குறிப்பிடுவர். இதனால் வட்டத்தின் சுற்றளவை நாம் இப்போது  × 2r எனக் குறிப்பிடலாம்தானே. இதனைக் கொஞ்சம் மாற்றிப் பெருக்குவதற்கு வசதியாகவும் சூத்திரமாகச் சொல்வதற்கு வசதியாகவும் 2 r அலகுகள் எனக் குறிப்பிடலாம்தானே. இதுதான் வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கான சூத்திரம். அதாவது ஒரு வட்டத்தன் ஆர அளவு தெரிந்தால் அதன் சுற்றளவை நாம் கண்டுபிடித்து விடலாம். நூலைத் தூக்கிக் கொண்டு அலைய வேண்டியதில்லை. என்ன நாம் வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கான சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடித்து விட்டோமா?

அடுத்தது என்ன என்றுதானே கேட்கிறீர்கள்? வட்டத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரத்தை நோக்கிச் செல்ல வேண்டும். அது குறித்து யோசித்து வையுங்கள் எப்படிக் கண்டுபிடிக்கலாம் என்று. நாளை பார்ப்போம்.

*****