சுற்றளவு – பரப்பளவு என்ன வேறுபாடு?

சுற்றளவு – பரப்பளவு என்ன வேறுபாடு?

நேற்று நாம் சதுரத்தின் சுற்றளவு குறித்து பார்த்தோம். அதன் இயற்கணித கோவை வடிவத்தையும் கண்டறிந்தோம்.

இன்று சதுரத்தின் பரப்பளவு குறித்துப் பார்ப்போம்.

அதென்ன சுற்றளவு, பிறகு பரப்பளவு என்று கேட்கிறீர்களா?

பெயரை வைத்தே நீங்கள் புரிந்து கொள்ள முடியும். சுற்றி வருகின்ற அளவு சுற்றளவு. அதாவது நீங்கள் ஒரு வடிவத்தைச் சுற்றி வர வேண்டும் என்றால் எவ்வளவு அளவு கடக்க வேண்டுமோ அந்த அளவு. அப்படியானால் பரப்பி வைக்கும் பரப்பளவா என்று கேட்டால் அதுவும் சரி என்றுதான் சொல்ல வேண்டும்.

எப்படி பரப்பி வைக்க வேண்டும் என்று கேள்வி எழுந்தால் சதுரக் கட்டங்களால் பரப்பி வைக்க வேண்டும்.

உங்களுக்கு இன்னும் தெளிவாகச் சொல்வதென்றால் ஒரு தோட்டத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். அந்தத் தோட்டத்தைச் சுற்றி வேலி வைக்க வேண்டும் என்றால் எத்தனை அடிக்கு வைக்க வேண்டும் என்ற கேள்வி எழும் இல்லையா? எத்தனை அடிக்கு வேலி வைக்க வேண்டுமோ அத்தனை அடி அதன் சுற்றளவு.

இப்போது அந்தத் தோட்டம் முழுவதும் டைல்ஸ் கற்கள் போடுவதென்றால் எத்தனை கற்கள் தேவைப்படுமோ அந்த டைல்ஸ் கற்களின் எண்ணிக்கைதான் அதன் பரப்பளவு. யாராவது தோட்டத்திற்குப் போய் டைல்ஸ் கற்கள் போடுவார்களா என்று கேட்டு விடாதீர்கள். உங்களது புரிதலுக்காகச் சொன்னேன். நீங்கள் வேண்டுமானால் உங்கள் அறைக்கு டைல்ஸ் போடுவதைக் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளுங்களேன்.

கணக்கு என்றால் இப்படியா உத்தேசமாகவா சொல்வார்கள் என்று கேட்டால் துல்லியமாகவே சொல்லி விடுகிறேனே.

ஒரு கட்டத்தாள் அதாவது கிராப் பேப்பரை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இப்போது மிகச் சரியாக மட்டுமில்லாமல் மிகத் துல்லியமாகச் சொல்லி விடுகிறேன். கட்டத்தாள் என்பதால் அது கட்டங்களாகத்தான் இருக்கும். கண்ணுக்குத் தெரிகின்ற அந்தக் கட்டங்கள் ஒவ்வொன்றும் செ.மீ. கட்டங்கள். அதாவது சதுரங்கள். ஒவ்வொன்றும் ஒரு சதுர சென்டி மீட்டர் பரப்பு கொண்ட கட்டங்கள். அதற்குள் மில்லி மீட்டர் கட்டங்கள் இருக்கும். அதை எண்ணிப் பார்த்தால் அந்தப் பொடிக் கட்டங்கள் மொத்தம் 100 இருக்கும். ஒரு சென்டி மீட்டருக்கு 10 மில்லி மீட்டர் என்பதால் 100 கட்டங்கள் இருக்கும். இது எப்படி வருகிறது என்பதை இன்னும் கொஞ்ச நேரத்தில் நீங்களே தெரிந்து கொள்வீர்கள். இப்போது நாம் செ.மீ. கட்டங்களை மட்டும் எடுத்துக் கொள்வோம்.

கட்டத்தாள் என்பதால் நீங்கள் மிக எளிதாக 3 சென்டி மீட்டர் பக்க அளவு உள்ளவாறு ஒரு சதுரத்தை வரையுங்கள். என்ன வரைந்து விட்டீர்களா?

இப்போது அந்தச் சதுரத்தை உருவாக்க உங்களுக்கு எத்தனை சென்டி மீட்டர் அளவுள்ள கோடுகள் தேவைப்பட்டன? ஒரு பக்கத்துக்கு மூன்று சென்டி மீட்டர் வீதம் நான்கு பக்கத்துக்கும் 12 செ.மீ. அல்லவா. இந்த 12 சென்டி மீட்டர்தான் சுற்றளவு. அதாவது சதுரத்தைச் சுற்றி அமைகின்ற அளவு.

இப்போது நீங்கள் வரைந்த சதுரத்திற்குள் உள்ள சென்டி மீட்டர் கட்டங்களை எண்ணிப் பாருங்கள். ஒன்பது இருக்கிறதா? இந்த 9 என்பதுதான் சதுரத்தின் பரப்பளவு. நாம் சென்டி மீட்டரில் சதுரம் வரைந்து இருப்பதால் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் சென்டி மீட்டராகப் பகுத்துக் கொள்ளும் போது உள்ளே 9 கட்டங்கள் அமைவதைப் பார்க்கிறீர்கள். கட்டங்களைச் சென்டி மீட்டராகத்தான் பகுத்துக் கொள்ள வேண்டுமா? நீங்கள் வரைந்துள்ள சதுரம் கட்டத்தாளில் இருப்பதால் மில்லி மீட்டராகவும் பகுத்துக் கொள்ளலாம். இப்போது ஒவ்வொரு பக்கமும் 30 மில்லி மீட்டர் வரும். உள்ளே இருக்கும் மில்லி மீட்டர் கட்டங்களை எண்ணிப் பாருங்கள்.

அடேங்கப்பா எத்தனை கட்டங்களை எண்ணுவது என்று கேட்கிறீர்களா? சதுரத்தில் உள்ள கட்டங்கள் குறைவாக இருந்தால் எண்ணிச் சொல்லி விடலாம். அதிகமாக இருக்கும் போது முடியாதே என்று சொல்கிறீர்களா? அப்படி எல்லாம் நீங்கள் கஷ்டப்படக் கூடாது என்பதற்காகத்தான் கணிதத்தில் சூத்திரத்தை உருவாக்கி வைத்திருக்கிறார்கள். அதனால் இனிமேல் சூத்திரங்கள் உங்களைக் கஷ்டப்படுத்துவதாகக் கூறாதீர்கள். நாம் கணக்கிடுவதை எளிமையாக்கத்தான் சூத்திரங்கள் உருவாக்கப்பட்டிருக்கின்றன.

நமது 3 சென்டி மீட்டர் பக்க அளவுள்ள சதுரம் 30 மில்லி மீட்டர் இருந்தாலென்ன? சதுரத்தின் பக்கத்தையும் பக்கத்தையும் பெருக்கிப் பாருங்கள். 30 × 30 = 900 வருகிறதா? அந்தச் சதுரத்தின் உள்ளே 900 மில்லி மீட்டர் கட்டங்கள் இருக்கும். அந்தச் சதுரத்தின் பரப்பளவை மில்லி மீட்டரில் சொல்வதென்றால் 900 சதுர மில்லி மீட்டர் என்று சொல்ல வேண்டும். அது ஏன் சதுர என்ற வார்த்தையை ஒட்ட வைத்துச் சொல்கிறீர்கள் என்று கேட்டால் நீங்கள் சதுரக் கட்டங்களைத்தானே எண்ணிச் சொன்னீர்கள். அதனால் அப்படித்தான் சொல்ல வேண்டும் இல்லையா.

சரி இப்போது மேலே நாம் பேசிக் கொண்டு வந்த போது ஒரு சதுர சென்டி மீட்டர் கட்டத்தில் 100 மில்லி மீட்டர் கட்டங்கள் இருப்பதாகப் பார்த்தோமே? அது எப்படி என்று இப்போது உங்களுக்குப் புரிந்திருக்கும் என்று நினைக்கிறேன்.

அது சரிதானே. ஒரு சென்டி மீட்டர் என்பது 10 மில்லி மீட்டர். அதன் பக்கத்தையும் பக்கத்தையும் பெருக்கினால் 10 ×10 = 100 தானே வரும்.

இது சரியாக இருக்குமா என்றுதானே சந்தேகப்படுகிறீர்கள்?

சந்தேகமே வேண்டாம். மிகச் சரியாக இருக்கும்.

உதாரணத்துக்குக் கீழே உள்ள சதுரங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

இது 1 அலகு பக்க அளவுள்ள சதுரம். பக்கத்தையும் பக்கத்தையும் பெருக்கினால் 1 × 1 = 1 சதுர அலகு பரப்பளவுதானே வருகிறது. இருப்பதும் ஒரு சதுரம்தானே.

இப்போது பக்கத்திற்கு இரண்டு அலகுள்ள சதுரத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்களேன்.

இதன் பக்கத்தையும் பக்கத்தையும் பெருக்கினால் 2 × 2 = 4 சதுர அலகுகள். சதுரக் கட்டங்களை எண்ணிப் பார்த்தால் 4 சதுரங்கள்தானே வருகிறது.

இப்போது பக்கத்திற்கு மூன்று அலகுள்ள சதுரத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்களேன்.

இதன் பக்கத்தையும் பக்கத்தையும் பெருக்குங்கள். 3 × 3 = 9 சதுர அலகுகள். சதுரக் கட்டங்களை எண்ணிப் பார்த்தாலும் 9 தானே வருகிறது.

இப்போது பக்கத்திற்கு 4 அலகுள்ள சதுரத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்களேன்.

இதன் பக்கத்தையும் பக்கத்தையும் பெருக்கினால் 4 ×4 = 16 சதுர அலகுகள். சதுரக் கட்டங்களை எண்ணிப் பார்த்தாலும் 16 தானே வருகிறது.

இப்போது 5 அலகுள்ள சதுரத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்களேன். போதும் போதும் புரிகிறது என்கிறீர்களா? அதுதானே வேண்டும். நல்லது. இப்போது பக்க்ததிற்கு 10 மில்லி மீட்டர் உள்ள சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டால் 10 × 10 = 100 மில்லி மீட்டர் கட்டங்கள்தானே வரும். ஆக ஒரு சதுர சென்டி மீட்டர் பக்க அளவுள்ள சதுரத்தை எடுத்துக் கொண்டால் உள்ளே 100 சதுர மில்லி மீட்டர்தானே வரும். இப்போது கட்டத்தாளில் உள்ள சென்டி மீட்டர் கட்டத்திற்குள் எப்படி 100 மில்லி மீட்டர் கட்டங்கள் வரும் என்பது நன்றாகவே புரிந்திருக்கும் என்று நினைக்கிறேன்.

இப்போது சதுரத்தின் பரப்பளவு என்றால் உங்களுக்குப் பக்கத்தையும் பக்கத்தையும் பெருக்க வேண்டும் என்று புரிந்திருக்கும். அதே நேரத்தில் சுற்றளவு என்றால் 4 ஆல் பக்கத்தைப் பெருக்க வேண்டும் என்று நேற்று சொல்லியதிலிருந்து புரிந்திருக்கும். அவ்வளவுதானா என்கிறீர்களா? அதுதான் இல்லை. இனிமேல்தான் விசயமே இருக்கிறது. அந்த விசயங்களை நாளை பார்ப்போம்.

அதற்கு முன் இந்த விசயங்களை நீங்கள் எப்போதும் மனதில் வைத்துக் கொள்ளுங்கள்.

அளவிடுதலில் சதுரம் முக்கியமானது. ஏனென்றால் எந்த உருவத்தின் பரப்பளவையும் நாம் சதுர அலகில்தான் குறிப்பிட வேண்டியிருக்கும் என்பது இப்போது நாம் பார்த்த உதாரணங்களில் இருந்தே புரிந்திருக்கும். இதை மட்டும் இப்போதைக்கு மனதில் வைத்துக் கொள்ளுங்கள். மற்றவற்றை பிற வடிவங்களின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரங்களைப் பார்க்கும் போது ஒவ்வொன்றாகப் பார்த்துக் கொள்வோம்.

*****