எண்களின் அழகியல்

எண்களின் அழகியல்

இயற்கையின் அழகை அளவிட முடியாது. பிரபஞ்சம் முழுவதும் இயற்கையின் அழகு கொட்டிக் கிடக்கிறது. எண்களின் அழகும் இயற்கையின் அழகைப் போலத்தான். கணித பிரபஞ்சம் முழுவதும் எண்களின் அழகு கொட்டிக் கிடக்கிறது.

இப்போது ஒரு கணித அழகியலைப் பார்ப்போமே.

எண்களை வரிசையாக எழுதிக் கூட்டிப் பார்த்திருக்கிறீர்களா?

உதாரணத்துக்கு ஒன்றிலிருந்து ஐந்து வரை வரிசையாக எழுதிக் கூட்டிப் பாருங்கள்.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

இப்போது ஒன்றிலிருந்து பத்து வரை வரிசையாக எழுதிக் கூட்டிப் பாருங்கள்.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

இப்போது ஒன்றிலிருந்து 100 வரை வரிசையாக எழுதிக் கூட்டிப் பாருங்கள். என்ன விளையாடுகிறீர்களா என்றுதானே சொல்கிறீர்கள்? ஆம் விளையாட்டுதான். இது கணித அழகியலைக் கண்டுபிடிக்கப் போகும் விளையாட்டு.

இப்படி ஓர் ஆசிரியர் ஒரு மாணவனைக் கூட்டச் சொன்ன போது அந்த மாணவன் மிக எளிதாகக் கூட்டிச் சொன்னான். யார் அந்த மாணவன் என்கிறீர்களா? அந்த மாணவனின் பெயர் காஸ். கணிதத்தின் சக்கரவர்த்தி என்று அழைக்கப்பட்டவர்.

அந்த மாணவன் விரைவாகக் கணக்குகளைக் கூட்ட தெரிந்த மாணவனாக இருப்பான் போலிருக்கிறது என்றுதானே நினைக்கிறீர்கள்? அப்படியில்லை. அந்த மாணவன் இந்த கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் அற்புதத்தை அதன் அழகியலைப் புரிந்து கொண்டவன்.

இப்போது நீங்களும் இந்த அற்புதத்தையும் அழகியலையும் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.

முதலில் நாம் ஒன்றிலிருந்து ஐந்து வரைக் கூட்டினோம் இல்லையா? அதை எப்படி எளிமையாக ஒரு கணித முறையைப் பயன்படுத்திக் கூட்டுத்தொகைக் காண்பது என்பதைப் பார்த்து விடுவோம்.

நமது கூட்டுத்தொடர் வரிசை 5 இல் முடிகிறதா? இப்போது நீங்கள் ஐந்துக்கு அடுத்த எண்ணான ஆறை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இப்போது நீங்கள் எடுத்துக் கொண்ட இரு எண்களான ஐந்தையும் ஆறையும் பெருக்குங்கள். பெருக்கி விட்டீர்களா? 30 விடை கிடைத்திருக்கிறதா? இப்போது இந்த முப்பதை இரண்டால் வகுத்து விடுங்கள். வகுத்து விட்டீர்களா? விடை 15 எனக் கிடைத்துள்ளதா? இந்த 15 தான் ஒன்றிலிருந்து ஐந்து வரை உள்ள எண்களைக் கூட்டும் போது கிடைக்கும் கூட்டுத் தொகை.

இப்போது அடுத்த கூட்டுத்தொடர் வரிசையை எடுத்துக் கொள்வோம். ஒன்றிலிருந்து பத்து வரையுள்ள எண்களைத்தானே கூட்ட வேண்டும். பத்திற்கு அடுத்த எண் பதினொன்று. இப்போது இந்த இரண்டு எண்களையும் பெருக்குவோம். 10 × 11 = 110. இந்த விடையை இரண்டால் வகுப்போம். 110 ÷ 2 = 55. இந்த 55 தானே நமக்குக் கிடைத்த கூட்டுத்தொகை.

இனி இதே முறையில் ஒன்றிலிருந்து 100 வரையுள்ள எண்களைக் கூட்டி விடலாம்தானே. எங்கே நம் முறையைப் பயன்படுத்தி விடை சொல்லுங்கள் பார்ப்போம்.

100 க்கு அடுத்த எண் 101. இரண்டையும் பெருக்க வேண்டுமா? 100 × 101 = 10100. இப்போது 10100 ஐ இரண்டால் வகுக்க வேண்டுமா? 10100 ÷2 = 50500. இந்த 50500 தான் விடை.

என்ன எளிதாக இருக்கிறதா? அது சரி இது எப்படி வருகிறது என்பதைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் அல்லவா? அப்போதுதானே கணிதத்தின் அழகியலையும் அதன் அற்புதத்தையும் புரிந்து கொள்ள முடியும்.

முதலில் ஒன்றிலிருந்து ஐந்து வரையுள்ள கூட்டுத்தொடர் வரிசையை ஏறுவரிசையாகவும் இறங்கு வரிசையாகவும் எடுத்துக் கொண்டு கீழே காட்டியுள்ளபடிக் கூட்டிப் பார்ப்போம்.

ஏறு வரிசை	1	2	3	4	5
இறங்கு வரிசை	5	4	3	2	1
கூடுதல்	6	6	6	6	6

 

அட பாருங்களேன் எல்லாவற்றின் கூடுதலும் 6 என்றே வருகிறது. இப்போது நமக்கு எத்தனை 6 கள் கிடைத்துள்ளன? 5 ஆறுகள் அல்லவா. 5 × 6 = 30 அல்லவா. ஆனால் நாம் கூட்டுத்தொடர் வரிசை ஏறுவரிசை, இறங்கு வரிசை என்று இரண்டு முறைக் கூட்டியிருக்கிறோம் அல்லவா. நமக்குத் தேவை ஒரு முறை கூட்டும் அந்தக் கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் கூடுதல்தானே. இரண்டு முறைக் கூட்டியதால் இரண்டால் வகுத்து விடுவோம். அதாவது 30 ஐ இரண்டால் வகுத்து விடுவோம். வகுத்தால் 15 கிடைக்கிறதா? இது ஓர் அழகியல் அல்லவா. இந்த அழகியலைப் பயன்படுத்திதான் வரிசையாக எழுதிய எண்களின் கூட்டுத்தொகையை எளிமையாகக் காண்கிறோம்.

இதே போல நீங்கள் ஒன்றிலிருந்து பத்து வரையுள்ள எண்களுக்குச் செய்து பாருங்கள். விடை சரியாக வரும். அதே போல நூறு வரையுள்ள எண்களுக்கும் செய்து பாருங்களேன். சரியாக வரும்.

இதை எளிமையாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும் என்றால் அதை ஒரு சூத்திரமாக்கிக் கொள்ள வேண்டும் என்று இந்நேரம் உங்களுக்குச் சொல்லாமல் புரிந்திருக்கும் அல்லவா.

ஒன்றிலிருந்து n வரையுள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகைக் காண வேண்டுமானால் நாம் n ஐயும் அதற்கு அடுத்துள்ள எண்ணான n + 1 ஐயும் பெருக்கி அந்தப் பெருக்குத் தொகையை இரண்டால் வகுக்க வேண்டும் அவ்வளவுதானே.

ஆக இதுதான் அதற்கான சூத்திரம்

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n = (n(n+1)) / 2

என்ன சரிதானே?

நாளை ஒற்றை எண்களின் கூடுதலை எப்படிக் காண்பது என்று பார்ப்போம். அதிலும் ஒரு கணித அழகியலும் அற்புதமும் இருக்கிறது.

*****